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设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴围成. 计算二重积分
设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴围成. 计算二重积分
admin
2018-03-26
104
问题
设平面区域D由曲线
(0≤t≤2π)与x轴围成.
计算二重积分
选项
答案
题中所给曲线是一条拱线,平面区域D可表示为 0≤x≤2π,0≤y≤y(x). 因此 [*] =∫
0
2π
dx∫
0
y(x)
(x+2y)dy=∫
0
2π
(xy+y
2
)|
0
y(x)
dx =∫
0
2π
[xy(x)+y
2
(x)]dx 下面利用换元法求解.令x=t—sint,y(x)=1一cost,则 [*] =∫
0
2π
[(t-sint)(1一cost)+(1一cost)
2
d(t-sint) =∫
0
2π
[(t一sint)(1一cost)
2
+(1一cost)
3
]dt =∫
0
2π
[t(1一cost)
2
一sint(1-cost)
2
+(1-cost)
3
]dt. 而∫
0
2π
t(1一cost)
2
dt=∫
0
2π
(t一2tcost+tcos
2
t)dt =[*] 而 ∫
0
2π
t(1一cost)
2
dt=∫
0
2π
(t一2tcost+tcos
2
t) =[*] ∫
0
2π
sint(1一cost)
2
dt=∫
0
2π
(1一cost)
2
d(1一cost)=[*] ∫
0
2π
(1一cost)
3
dt=∫
0
2π
(1—3cost+3cos
2
t—cos
3
t)dt [*]
解析
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0
考研数学二
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