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  3. 设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴围成． 计算二重积分

设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴围成． 计算二重积分

admin2018-03-26  65
问题 设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴围成．
计算二重积分
选项
答案题中所给曲线是一条拱线，平面区域D可表示为 0≤x≤2π，0≤y≤y(x)． 因此 [*] =∫02πdx∫0y(x)(x+2y)dy=∫02π(xy+y2)|0y(x)dx =∫02π[xy(x)+y2(x)]dx 下面利用换元法求解．令x=t—sint，y(x)=1一cost，则 [*] =∫02π[(t-sint)(1一cost)+(1一cost)2d(t-sint) =∫02π[(t一sint)(1一cost)2+(1一cost)3]dt =∫02π[t(1一cost)2一sint(1-cost)2+(1-cost)3]dt． 而∫02πt(1一cost)2dt=∫02π(t一2tcost+tcos2t)dt =[*] 而 ∫02πt(1一cost)2dt=∫02π(t一2tcost+tcos2t) =[*] ∫02πsint(1一cost)2dt=∫02π(1一cost)2d(1一cost)=[*] ∫02π(1一cost)3dt=∫02π(1—3cost+3cos2t—cos3t)dt [*]
解析
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考研数学二

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