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设α=(1,2,3,4)T,β=(3,-2,-1,1)T,A=αβT. (Ⅰ)求A的特征值,特征向量; (Ⅱ)问A能否相似于对角矩阵,说明理由.
设α=(1,2,3,4)T,β=(3,-2,-1,1)T,A=αβT. (Ⅰ)求A的特征值,特征向量; (Ⅱ)问A能否相似于对角矩阵,说明理由.
admin
2021-10-08
41
问题
设α=(1,2,3,4)
T
,β=(3,-2,-1,1)
T
,A=αβ
T
.
(Ⅰ)求A的特征值,特征向量;
(Ⅱ)问A能否相似于对角矩阵,说明理由.
选项
答案
(Ⅰ)[*] 故A有特征值λ=0(四重根). 当λ=0时,有(λE-A)x=0,即Ax=0,Ax=0的同解方程为 3x
1
-2x
2
-x
3
+x
4
=0. 解得对应的特征向量为 ξ
1
=(2,3,0,0)
T
,ξ
2
=(1,0,3,0)
T
,ξ
3
=(1,0,0,-3)
T
. A的对应于λ=0的全体特征向量为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+k
3
ξ
3
,其中k
1
,k
2
,k
3
为不同时为零的任意常数. (Ⅱ)因r(A)=r(αβ
T
)≤r(α)=1(α≠0),A≠O,故r(A)=1. 因此λ=0为四重根时,线性无关的特征向量只有三个,故A不能相似于对角阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LDy4777K
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考研数学二
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