2. 考研
  3. 设α=(1，2，3，4)T，β=(3，－2，－1，1)T，A=αβT． (Ⅰ)求A的特征值，特征向量； (Ⅱ)问A能否相似于对角矩阵，说明理由．

设α=(1，2，3，4)T，β=(3，－2，－1，1)T，A=αβT． (Ⅰ)求A的特征值，特征向量； (Ⅱ)问A能否相似于对角矩阵，说明理由．

admin2021-10-08  52
问题 设α=(1，2，3，4)T，β=(3，－2，－1，1)T，A=αβT．
(Ⅰ)求A的特征值，特征向量；
(Ⅱ)问A能否相似于对角矩阵，说明理由．
选项
答案(Ⅰ)[*] 故A有特征值λ=0(四重根)． 当λ=0时，有(λE－A)x=0，即Ax=0，Ax=0的同解方程为 3x1－2x2－x3+x4=0． 解得对应的特征向量为 ξ1=(2，3，0，0)T，ξ2=(1，0，3，0)T，ξ3=(1，0，0，－3)T． A的对应于λ=0的全体特征向量为k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3，其中k1，k2，k3为不同时为零的任意常数． (Ⅱ)因r(A)=r(αβT)≤r(α)=1(α≠0)，A≠O，故r(A)=1． 因此λ=0为四重根时，线性无关的特征向量只有三个，故A不能相似于对角阵．
解析
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考研数学二

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