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n阶矩阵A满足A2一2A一3E=O,证明A能相似对角化.
n阶矩阵A满足A2一2A一3E=O,证明A能相似对角化.
admin
2019-08-12
86
问题
n阶矩阵A满足A
2
一2A一3E=O,证明A能相似对角化.
选项
答案
由A
2
一2A一3E=0得(E+A)(3E—A)=0,则 r(E+A)+r(3E—A)≤n; 由r(E+A)+r(3E—A)≥r(4E)=n得r(E+A)+r(3E—A)=n. (1)当r(E+A)=n时,A=3E为对角阵; (2)当r(3E—A)=n时,为对角矩阵; (3)r(E+A)<n,r(3E—A)<n,则|E+A|=0,|3E—A|=0, A的特征值λ
1
=一1,λ
2
=3. λ
1
=一1对应的线性无关的特征向量个数为n一r(一E—A)=n一r(E+A); λ
2
=3对应的线性无关的特征向量个数为n一r(3E—A). 因为n一r(E+A)+n一r(3E—A)=n,所以A可相似对角化.
解析
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