n阶矩阵A满足A2一2A一3E=O，证明A能相似对角化．

admin2019-08-12 61

问题 n阶矩阵A满足A²一2A一3E=O，证明A能相似对角化．

选项

答案由A²一2A一3E=0得(E+A)(3E—A)=0，则 r(E+A)+r(3E—A)≤n；由r(E+A)+r(3E—A)≥r(4E)=n得r(E+A)+r(3E—A)=n． (1)当r(E+A)=n时，A=3E为对角阵； (2)当r(3E—A)=n时，为对角矩阵； (3)r(E+A)＜n，r(3E—A)＜n，则|E+A|=0，|3E—A|=0， A的特征值λ₁=一1，λ₂=3． λ₁=一1对应的线性无关的特征向量个数为n一r(一E—A)=n一r(E+A)； λ₂=3对应的线性无关的特征向量个数为n一r(3E—A)．因为n一r(E+A)+n一r(3E—A)=n，所以A可相似对角化．

解析

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考研数学二

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已知n(n≥3)阶实矩阵A=(aij)n×n满足条件：(1)aij=Aij(i，j=1，2，…，n)，其中Aij是aij的代数余子式；(2)a11≠0．求｜A｜．
设f(χ)在[1，＋∞)可导，[χf(χ)]≤－kf(χ＞1)，在(1，＋∞)的子区间上不恒等，又f(1)≤M，其中k，M为常数，求证：f(χ)＜(χ＞1)．
设(1)用变限积分表示满足上述初值条件的特解y(x)；(2)讨论是否存在，若存在，给出条件，若不存在，说明理由．
设有齐次线性方程组试问a为何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．
利用导数证明：当x＞1时，
设试问当α取何值时，f(x)在点x=0处(1)连续；(2)可导；(3)一阶导数连续；(4)二阶导数存在．
已知ξ1，ξ2是方程(λE—g)X=0的两个不同的解向量，则下列向量中必是A的对应于特征值λ的特征向量的是()
设αi=(ai1，ai2，…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．
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