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  3. 设A是n阶矩阵，证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是｜A｜≠0．

设A是n阶矩阵，证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是｜A｜≠0．

admin2019-08-12  65
问题 设A是n阶矩阵，证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是｜A｜≠0．
选项
答案必要性．对矩阵A按列分块A=(α1，α2，…，αn)，则 [*]b，Ax=b有解=>α1，α2，…，αn可表示任何n维向量b =>α1，α2，…，αn可表示e1=(1，0，0，…，0)T，e2=(0，1，0，…，0)T，…，en=(0，0，0，…，1)T =>r(α1，α2，…，αn)≥r(e1，e2，…，en)=n =>r(A)=n． 所以｜A｜≠0． 充分性．由克莱姆法则，行列式｜A｜≠0时方程组必有唯一解，故[*]b，Ax=b总有解．
解析
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考研数学二

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