2. 考研
  3. 设向量组α1，α2，α3，β1线性相关，向量组α1，α2，α3，β2线性无关，则对于任意常数k，必有( )．

设向量组α1，α2，α3，β1线性相关，向量组α1，α2，α3，β2线性无关，则对于任意常数k，必有( )．

admin2022-01-05  87
问题 设向量组α1，α2，α3，β1线性相关，向量组α1，α2，α3，β2线性无关，则对于任意常数k，必有(    )．
选项 A、α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关
B、α1，α2，α3，kβ1＋β2线性相关
C、α1，α2，α3，β1＋kβ2线性无关
D、α1，α2，α3，β1＋kβ2线性相关
答案A
解析 可用线性无关的定义证明．由于k为任意常数，令k取某些特殊值也可用排错法判别．
解一  对于任意常数k，证明(A)成立．设
    l1α1＋l2α2＋l3α3＋l4(kβ1＋β2)＝0
下证l4＝0．若l4≠0，则kβ1＋β2可由α1，α2，α3线性表示，由题设知β1能由α1，α2，α3线性表示，因而β2能由α1，α2，α3线性表示．这与α1，α2，α3，β2线性无关相矛盾，所以l4＝0，则上述等式可化为l1α1＋l2α2＋l3α3＝0．
而α1，α2，α3线性无关，故l1＝0，l2＝0，l3＝0，所以α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关．故(A)正确．
解二  当k＝0时，显然(B)、(C)不成立．
      当k＝1时，(D)不成立．事实上，由题设α1，α2，α3，β2线性无关，如果α1，α2，α3，β1＋β2线性相关，而α1，α2，α3线性无关，β1，α1，α2，α3线性相关，则β1能由α1，α2，α3线性表示，而β2不能，于是β1＋β2不能由α1，α2，α3线性表示，所以(D)不成立．仅(A)入选．
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考研数学三

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