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设二次型f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ=3χ12+aχ22+3χ33-4χ1χ2-8χ1χ3 -4χ2χ3,其中-2是二次型矩阵A的一个特征值. (Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用正交变换; (Ⅱ)如果A*+kE是正定矩阵,
设二次型f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ=3χ12+aχ22+3χ33-4χ1χ2-8χ1χ3 -4χ2χ3,其中-2是二次型矩阵A的一个特征值. (Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用正交变换; (Ⅱ)如果A*+kE是正定矩阵,
admin
2020-02-28
76
问题
设二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χ
T
Aχ=3χ
1
2
+aχ
2
2
+3χ
3
3
-4χ
1
χ
2
-8χ
1
χ
3
-4χ
2
χ
3
,其中-2是二次型矩阵A的一个特征值.
(Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用正交变换;
(Ⅱ)如果A
*
+kE是正定矩阵,求k的取值范围.
选项
答案
(Ⅰ)A=[*] 由已知可得|-E-A|=0[*]a=6 [*] 对于λ
1
=λ
2
=7,(7E-A)χ=0, [*]α
1
=(1,-2,0)
T
,α
2
=(-1,0,1)
T
. 对于λ
3
=-2,(-2E-A)χ=0, [*]χ
3
=(2,1,2) 因为α
1
,α
2
不正交,由Schmidt正交化,有 [*] 再单位化,得 [*] 令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*],则在正交变换χ=Qy下, 有χ
T
Aχ=y
T
Ay[*]7y
1
2
+7y
2
2
-2y
3
2
. (Ⅱ)|A|=7×7×(-2)=-98. 所以A
*
的特征值为-14,-14,49. 从而A
*
+kE的特征值为k-14,k-14.k+49. 因此k>14时,A
*
+kE正定.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LJA4777K
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考研数学二
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