2. 考研
  3. 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ＝3χ12＋aχ22＋3χ33－4χ1χ2－8χ1χ3 －4χ2χ3，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值． (Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)如果A*＋kE是正定矩阵，

设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ＝3χ12＋aχ22＋3χ33－4χ1χ2－8χ1χ3 －4χ2χ3，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值． (Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)如果A*＋kE是正定矩阵，

admin2020-02-28  39
问题 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ＝3χ12＋aχ22＋3χ33－4χ1χ2－8χ1χ3 －4χ2χ3，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值．
    (Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；
    (Ⅱ)如果A*＋kE是正定矩阵，求k的取值范围．
选项
答案(Ⅰ)A＝[*] 由已知可得｜－E－A｜＝0[*]a＝6 [*] 对于λ1＝λ2＝7，(7E－A)χ＝0， [*]α1＝(1，－2，0)T，α2＝(－1，0，1)T． 对于λ3＝－2，(－2E－A)χ＝0， [*]χ3＝(2，1，2) 因为α1，α2不正交，由Schmidt正交化，有 [*] 再单位化，得 [*] 令Q＝(γ1，γ2，γ3)＝[*]，则在正交变换χ＝Qy下， 有χTAχ＝yTAy[*]7y12＋7y22－2y32． (Ⅱ)｜A｜＝7×7×(－2)＝－98． 所以A*的特征值为－14，－14，49． 从而A*＋kE的特征值为k－14，k－14．k＋49． 因此k＞14时，A*＋kE正定．
解析
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考研数学二

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