设f(x)是区间上单调、可导的函数，且满足∫0f(x)f(—1)(t)dt= 其中f—1是f的反函数，求f(x)。[img][/img]

admin2019-03-21 80

问题设f(x)是区间

上单调、可导的函数，且满足∫₀^f(x)f^(—1)(t)dt=

其中f^—1是f的反函数，求f(x)。[img][/img]

选项

答案在∫₀^f(x)f^—1(t)dt=[*]的两边同时对x求导得 [*] 也就是[*]，即[*] 两边再分别积分得 f(x)=ln｜sinx+cosx｜+C。 (*) 将x=0代入题中的已知方程可得 ∫₀⁽⁰⁾f^—1(t)d=[*] 由于f(x)是区间[*]上单调、可导的函数，则f^—1(x)的值域为[*]，且为单调非负的，所以f(0)=0。代入(*)式可得C=0，故f(x)=ln｜sinx+cosx｜。

解析

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