2. 考研
  3. 证明：f为I上的凸函数的充要条件是对任何x1，x2∈I，函数φ(λ)=f(λx1+(1-λ)x2)为[0，1]上的凸函数．

证明：f为I上的凸函数的充要条件是对任何x1，x2∈I，函数φ(λ)=f(λx1+(1-λ)x2)为[0，1]上的凸函数．

admin2022-11-23  20
问题 证明：f为I上的凸函数的充要条件是对任何x1，x2∈I，函数φ(λ)=f(λx1+(1-λ)x2)为[0，1]上的凸函数．
选项
答案充分性 设φ(λ)为[0，1]上的凸函数，则对任何x1，x2∈I及λ∈(0，1)，有 f[λx1+(1-λ)x2]=φ(λ)=φ[λ·1+(1-λ)·0]≤λφ(1)+(1-λ)φ(0) =λf(x1)+(1-λ)f(x2)． 故f(x)为I上的凸函数． 必要性 设f(x)为I上的凸函数，则对任何λ1，λ2∈[0，1]及μ∈(0，1)有 φ[μλ1+(1-μ)λ2]=f[(μλ1+(1-μ)λ2)x1+(1-μλ1-(1-μ)λ2)x2] =f[μ(λ1x1+(1-λ1)x2)+(1-μ)(λ2x1+(1-λ2)x2)] ≤μf(λ1x1+(1-λ1)x2)+(1-μ)f(λ2x1+(1-λ2)x2) =μφ(λ1)+(1-μ)φ(λ2)． 故φ(λ)为[0，1]上的凸函数．
解析
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考研数学三

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