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证明：f为I上的凸函数的充要条件是对任何x1，x2∈I，函数φ(λ)=f(λx1+(1-λ)x2)为[0，1]上的凸函数．
证明：f为I上的凸函数的充要条件是对任何x1，x2∈I，函数φ(λ)=f(λx1+(1-λ)x2)为[0，1]上的凸函数．
admin
2022-11-23
19
问题
证明：f为I上的凸函数的充要条件是对任何x
1
，x
2
∈I，函数φ(λ)=f(λx
1
+(1-λ)x
2
)为[0，1]上的凸函数．
选项
答案
充分性 设φ(λ)为[0，1]上的凸函数，则对任何x
1
，x
2
∈I及λ∈(0，1)，有 f[λx
1
+(1-λ)x
2
]=φ(λ)=φ[λ·1+(1-λ)·0]≤λφ(1)+(1-λ)φ(0) =λf(x
1
)+(1-λ)f(x
2
)． 故f(x)为I上的凸函数． 必要性 设f(x)为I上的凸函数，则对任何λ
1
，λ
2
∈[0，1]及μ∈(0，1)有 φ[μλ
1
+(1-μ)λ
2
]=f[(μλ
1
+(1-μ)λ
2
)x
1
+(1-μλ
1
-(1-μ)λ
2
)x
2
] =f[μ(λ
1
x
1
+(1-λ
1
)x
2
)+(1-μ)(λ
2
x
1
+(1-λ
2
)x
2
)] ≤μf(λ
1
x
1
+(1-λ
1
)x
2
)+(1-μ)f(λ
2
x
1
+(1-λ
2
)x
2
) =μφ(λ
1
)+(1-μ)φ(λ
2
)． 故φ(λ)为[0，1]上的凸函数．
解析
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考研数学三
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