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设a1=0,当n≥1时,an+1=2一cos an,证明:数列{an}收敛,并证明其极限值位于区间(,3)内.
设a1=0,当n≥1时,an+1=2一cos an,证明:数列{an}收敛,并证明其极限值位于区间(,3)内.
admin
2017-12-23
116
问题
设a
1
=0,当n≥1时,a
n+1
=2一cos a
n
,证明:数列{a
n
}收敛,并证明其极限值位于区间(
,3)内.
选项
答案
设f(x)=2一cos x,则a
n+1
=f(a
n
),有f’(x)=sin x,所以f(x)在[0,3]上单增. 由于a
1
=0,a
2
=2一cos a
1
=1,即a
1
<a
2
≤3,由于函数f(x)在[0,3]上单调增加,所以f(a
1
)<f(a
2
)≤f(3),即a
2
<a
3
≤3,从而有a
1
<a
2
<a
3
<a
4
<…<a
n
<a
n+1
<…≤3. 于是可知数列{a
n
}单调增加且有上界3,所以数列{a
n
}收敛.设其极限为A(A≤3),即[*]=A. 在a
n+1
=f(a
n
)两边同取n→∞时的极限,有A=f(A),即A=2一cos A. 记g(x)=x一2+cos x,则上述数列的极限值A,就是方程g(x)=0的解. 由于函数g(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且有g’(x)=1一sin x≥0,所以函数g(x)在[0,3]上单调增加.由于 g(3)=1+cos 3>0, [*], 所以方程g(x)=0在区间([*],3)内的解存在且唯一,证毕.
解析
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