设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝f(ξ)．

admin2018-05-17 74

问题设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f(

)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝f(ξ)．

选项

答案不妨设f(a)＞0，f(b)＞0，[*]＜0，令φ(χ)＝e^-χf(χ)，则 φ′(χ)＝e^-χ[f′(χ)－f(χ)]．因为φ(a)＞0，[*]＜0，φ(b)＞0．所以存在[*] 使得φ(ξ₁)＝φ(ξ₂)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](a，b)，使得φ′(ξ)＝0，即e^-ξ[f′(ξ)－f(ξ)]＝0，因为e^－ξ≠0，所以f′(ξ)＝f(ξ)．

解析

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考研数学二

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