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微分方程yy’’一(y’)2=0满足y(0)=1与y’(0)=1的特解是_________.
微分方程yy’’一(y’)2=0满足y(0)=1与y’(0)=1的特解是_________.
admin
2014-02-05
82
问题
微分方程yy
’’
一(y
’
)
2
=0满足y(0)=1与y
’
(0)=1的特解是_________.
选项
答案
e
x
.
解析
【分析一】该二阶方程不显含x,令P=y
’
,并以y为自变量可降阶为P的一阶方程.将
代入方程得
分离变量得
积分得lnP=lny+C,由初值得C
1
=0.于是
即
再积分并由初值得x=lny,即y=e
2
【分析二】因为要求方程满足y(0)=1的特解,无妨设y>0,因而由商的求导法则,将方程两边同除y
2
方程可改写为
积分即得
利用y(0)=1与y
’
(0)=1可确定常数C
1
=1.于是方程可化为(lny)
’
=1,再积分即得lny=x+C
2
,利用y(0)=1又可确定常数C
2
=0.故所求特解为lny=x,即y=e
x
.
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考研数学二
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