2. 考研
  3. 已知y1*(x)=xe-x+e-2x，y2*(x)=xe-x+xe-2x，y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+Py’+qy=f(x)的三个特解． 求这个方程和它的通解：

已知y1*(x)=xe-x+e-2x，y2*(x)=xe-x+xe-2x，y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+Py’+qy=f(x)的三个特解． 求这个方程和它的通解：

admin2014-02-05  52
问题 已知y1*(x)=xe-x+e-2x，y2*(x)=xe-x+xe-2x，y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+Py’+qy=f(x)的三个特解．
求这个方程和它的通解：
选项
答案由线性方程解的叠加原理→y1(x)=y3*(x)一y2*(x)=e-2x,y2(x)=y3*(x)一y1*(x)=xe-2x均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是相应的特征方程为(λ+2)2=0，即λ2+4λ+4=0．原方程为y’’+4y’+4y=f(x)．①由于y*(x)=xe-x是它的特解，求导得y*’(x)=e-x(1一x)，y^’’(x)=e-x(x一2)．代入方程①得e-x(x一2)+4e-x(1一x)+4xe-x=f(x)→f(x)=(x+2)e-x→原方程为y’’+4y’+4y=(x+2)e-x，其通解为y=C1e-2x+C2xe-2x+xe-x，其中C1，C2为[*]常数．
解析
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考研数学二

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