设函数f(x)在区间[0，4]上连续，且∫04f(x)dx=0，求证：存在ξ∈(0，4)使得f(ξ)+f(4一ξ)=0．

admin2018-05-23 83

问题设函数f(x)在区间[0，4]上连续，且∫₀⁴f(x)dx=0，求证：存在ξ∈(0，4)使得f(ξ)+f(4一ξ)=0．

选项

答案用反证法来证明本题．由题设f(x)在[0，4]上连续即知f(4一x)在[0，4]上连续，从而其和f(x)+f(4一x)也在[0，4]上连续．若不存在ξ∈(0，4)使f(ξ)+f(4一ξ)=0，则f(x)+f(4一x)或在(0，4)内恒正，或在(0，4)内恒负，于是必有 ∫₀⁴[f(x)+f(4一x)]dx≠0 但是∫₀⁴f(x)dx=0用换元x=4一t可得∫₀⁴f(4一t)dt=0．于是∫₀⁴[f(x)+f(4一x)]dx=0，由此得出的矛盾表明必存在ξ∈(0，4)使得f(ξ)+f(4一ξ)=0．

解析

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