设函数Fn(x)=∫0xf(t)dt一x∈[0,+∞),其中n=1,2,3,…为任意自然数,f(x)为[0,+∞)上正值连续函数.求证: (Ⅰ)Fn(x)在(0,+∞)存在唯一零点xn;

admin2016-07-29  39

问题 设函数Fn(x)=∫0xf(t)dt一x∈[0,+∞),其中n=1,2,3,…为任意自然数,f(x)为[0,+∞)上正值连续函数.求证:
(Ⅰ)Fn(x)在(0,+∞)存在唯一零点xn

选项

答案(Ⅰ)Fn(x)在[0,+∞)内可导(也就必然连续),又 [*] 故Fn(x)在[*]存在零点,记为xn,则Fn(xn)=0.又 [*] 从而Fn(x)在[0,+∞)单调上升,因此Fn(x)在(0,+∞)有唯一零点,就是这个xn. (Ⅱ)在前面的证明中已得估计式 [*] 因[*]收敛,由比较原理知[*]收敛.又 ln(1+xn)~xn(n→∞), 故[*]收敛. (Ⅲ)方法1° 前面已导出 [*] 从而对[*]>0有Fn(x)=Fn(0)+∫0xFn(t)dt≥Fn(0)+2x. [*] 方法2° 直接由 [*]

解析
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