设函数Fn（x）=∫0xf（t）dt一x∈[0，+∞），其中n=1，2，3，…为任意自然数，f（x）为[0，+∞）上正值连续函数．求证：（Ⅰ）Fn（x）在（0，+∞）存在唯一零点xn；

admin2016-07-29 82

问题设函数F_n（x）=∫₀^xf（t）dt一

x∈[0，+∞），其中n=1，2，3，…为任意自然数，f（x）为[0，+∞）上正值连续函数．求证：
（Ⅰ）F_n（x）在（0，+∞）存在唯一零点x_n；

选项

答案(Ⅰ)F_n(x)在[0，+∞)内可导(也就必然连续)，又 [*] 故F_n(x)在[*]存在零点，记为x_n，则F_n(x_n)=0．又 [*] 从而F_n(x)在[0，+∞)单调上升，因此F_n(x)在(0，+∞)有唯一零点，就是这个x_n． (Ⅱ)在前面的证明中已得估计式 [*] 因[*]收敛，由比较原理知[*]收敛．又 ln(1+x_n)～x_n(n→∞)，故[*]收敛． (Ⅲ)方法1° 前面已导出 [*] 从而对[*]＞0有F_n(x)=F_n(0)+∫₀^xF_n^’(t)dt≥F_n(0)+2x． [*] 方法2° 直接由 [*]

解析

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考研数学三

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设函数Fn（x）=∫0xf（t）dt一x∈[0，+∞），其中n=1，2，3，…为任意自然数，f（x）为[0，+∞）上正值连续函数．求证：（Ⅰ）Fn（x）在（0，+∞）存在唯一零点xn；

考研数学三

在社会公共生活领域中，人员构成复杂，素质参差不齐，正常的生活秩序可能受到影响甚至被破坏，社会公德最基本的要求，维护公共生活秩序的重要条件是()。

近代中国半殖民地半封建的社会性质和主要矛盾，规定了()。

已知向量组α1=(t，2，1)，α2=(2，t，0)，α3=(1，-1，1)，试讨论：(1)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关?(2)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关?

求下列函数的极值：(1)f(x，y)＝6(x－x2)(4y－y2)；(2)f(x，y)＝e2x(x＋y2＋2y)；(4)f(x，y)＝3x2y＋y3－3x2－3y2＋

设有一力场，场力的大小与作用点与z轴的距离成反比(比例系数为k)，方向垂直于z轴并且指向z轴，试求一质点沿圆弧x＝cost，y＝1，z＝sint从点(1，1，0)依t增加的方向移动到点(0，1，1)时场力所做的功．

验证下列函数满足波动方程utt＝a2uxx：(1)u＝sin(kx)sin(akt)；(2)u＝ln(x＋at)；(3)u＝sin(x－at)．

求下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：(1)ρ＝3及ρ＝2(1＋cosφ)；(2)及ρ2＝cos2φ．

设u(x，y，z)，v(x，y，z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数，依次表示u(x，y，z)，v(x，y，z)沿∑的外法线方向的方向导数．证明：其中∑是空间闭区域Ω的整个边界曲面．

设随机变量X的密度函数为f(x)，方差DX=4，而随机变量Y的密度函数为2f(一2y)，X且Y的相关系数用切比雪夫不等式估计概率P{｜Z｜≥4}．

求f(x)=的间断点并判断其类型．

强心苷增强心肌收缩力的作用是使心肌细胞内

施工临时用地的法律依据是(　　)。

根据《建筑法》有关规定，申请领取施工许可证应具备以下条件(　　)。

在外商投资企业中工作的中方雇员，雇佣单位和派遣单位分别支付工资、薪金的，在代扣代缴税金时，以下说法正确的有()。

伊斯兰教认为()是独一无二的真主，()之外别无神灵。

二战后，美国以经济手段扶植和控制西欧的表现是()。

计算结果不是字符串"Teacher"的表达式是(　　)。

スケジュール

Whatdoesthespeakerdomostprobably?

设函数Fn（x）=∫0xf（t）dt一x∈[0，+∞），其中n=1，2，3，…为任意自然数，f（x）为[0，+∞）上正值连续函数．求证： （Ⅰ）Fn（x）在（0，+∞）存在唯一零点xn；

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近代中国半殖民地半封建的社会性质和主要矛盾，规定了()。

已知向量组α1=(t，2，1)，α2=(2，t，0)，α3=(1，-1，1)，试讨论：(1)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关?(2)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关?

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设有一力场，场力的大小与作用点与z轴的距离成反比(比例系数为k)，方向垂直于z轴并且指向z轴，试求一质点沿圆弧x＝cost，y＝1，z＝sint从点(1，1，0)依t增加的方向移动到点(0，1，1)时场力所做的功．

验证下列函数满足波动方程utt＝a2uxx：(1)u＝sin(kx)sin(akt)；(2)u＝ln(x＋at)；(3)u＝sin(x－at)．

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设u(x，y，z)，v(x，y，z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数，依次表示u(x，y，z)，v(x，y，z)沿∑的外法线方向的方向导数．证明：其中∑是空间闭区域Ω的整个边界曲面．

设随机变量X的密度函数为f(x)，方差DX=4，而随机变量Y的密度函数为2f(一2y)，X且Y的相关系数用切比雪夫不等式估计概率P{｜Z｜≥4}．

求f(x)=的间断点并判断其类型．

强心苷增强心肌收缩力的作用是使心肌细胞内

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根据《建筑法》有关规定，申请领取施工许可证应具备以下条件( )。

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