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设函数Fn(x)=∫0xf(t)dt一x∈[0,+∞),其中n=1,2,3,…为任意自然数,f(x)为[0,+∞)上正值连续函数.求证: (Ⅰ)Fn(x)在(0,+∞)存在唯一零点xn;
设函数Fn(x)=∫0xf(t)dt一x∈[0,+∞),其中n=1,2,3,…为任意自然数,f(x)为[0,+∞)上正值连续函数.求证: (Ⅰ)Fn(x)在(0,+∞)存在唯一零点xn;
admin
2016-07-29
94
问题
设函数F
n
(x)=∫
0
x
f(t)dt一
x∈[0,+∞),其中n=1,2,3,…为任意自然数,f(x)为[0,+∞)上正值连续函数.求证:
(Ⅰ)F
n
(x)在(0,+∞)存在唯一零点x
n
;
选项
答案
(Ⅰ)F
n
(x)在[0,+∞)内可导(也就必然连续),又 [*] 故F
n
(x)在[*]存在零点,记为x
n
,则F
n
(x
n
)=0.又 [*] 从而F
n
(x)在[0,+∞)单调上升,因此F
n
(x)在(0,+∞)有唯一零点,就是这个x
n
. (Ⅱ)在前面的证明中已得估计式 [*] 因[*]收敛,由比较原理知[*]收敛.又 ln(1+x
n
)~x
n
(n→∞), 故[*]收敛. (Ⅲ)方法1° 前面已导出 [*] 从而对[*]>0有F
n
(x)=F
n
(0)+∫
0
x
F
n
’
(t)dt≥F
n
(0)+2x. [*] 方法2° 直接由 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1WT4777K
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考研数学三
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