2. 考研
  3. 设函数Fn（x）=∫0xf（t）dt一x∈[0，+∞），其中n=1，2，3，…为任意自然数，f（x）为[0，+∞）上正值连续函数．求证： （Ⅰ）Fn（x）在（0，+∞）存在唯一零点xn；

设函数Fn（x）=∫0xf（t）dt一x∈[0，+∞），其中n=1，2，3，…为任意自然数，f（x）为[0，+∞）上正值连续函数．求证： （Ⅰ）Fn（x）在（0，+∞）存在唯一零点xn；

admin2016-07-29  52
问题 设函数Fn（x）=∫0xf（t）dt一x∈[0，+∞），其中n=1，2，3，…为任意自然数，f（x）为[0，+∞）上正值连续函数．求证：
（Ⅰ）Fn（x）在（0，+∞）存在唯一零点xn；
选项
答案(Ⅰ)Fn(x)在[0，+∞)内可导(也就必然连续)，又 [*] 故Fn(x)在[*]存在零点，记为xn，则Fn(xn)=0．又 [*] 从而Fn(x)在[0，+∞)单调上升，因此Fn(x)在(0，+∞)有唯一零点，就是这个xn． (Ⅱ)在前面的证明中已得估计式 [*] 因[*]收敛，由比较原理知[*]收敛．又 ln(1+xn)～xn(n→∞)， 故[*]收敛． (Ⅲ)方法1° 前面已导出 [*] 从而对[*]＞0有Fn(x)=Fn(0)+∫0xFn’(t)dt≥Fn(0)+2x． [*] 方法2° 直接由 [*]
解析
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考研数学三

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