设函数f(χ)在区间[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)＋f(1)＋f(2)＝3，f(3)＝1．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f′(ξ)＝0．

admin2017-09-15 56

问题设函数f(χ)在区间[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)＋f(1)＋f(2)＝3，f(3)＝1．
证明：存在ξ∈(0，3)，使得f′(ξ)＝0．

选项

答案因为f(χ)在[0，3]上连续，所以f(χ)在[0，2]上连续，故f(χ)在[0，2]取到最大值M和最小值m，显然3m≤f(0)＋f(1)＋f(2)≤3M，即m≤1≤M，由介值定理，存在c∈[0，2]，使得f(c)＝1．因为f(χ)在[c，3]上连续，在(c，3)内可导，且f(c)＝f(3)＝1，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，3)[*](0，3)，使得f′(ξ)＝0．

解析

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