若A是n阶正定矩阵，证明A－1，A*也是正定矩阵．

admin2021-11-15 2

问题若A是n阶正定矩阵，证明A^－1，A^*也是正定矩阵．

选项

答案因A正定，所以A^T=A．那么(A^－1)^T=(A^－1)^－1=A^－1，即A^－1是实对称矩阵．设A的特征值是λ₁，λ₂，…，λ_n，那么A^－1的特征值是1／λ₁，1／λ₂，…，1／λ_n，由A正定知λ_i＞0(i=1，2，…，n)．因此A^－1的特征值1／λ_i＞0(i=1，2，…，n)．从而A^－1正定． A^*=|A|A^－1，|A|＞0，则A^*也是实对称矩阵，并且特征值为 |A|／λ₁，|A|／λ₂，…，|A|／λ_n 都大于0．从而A^*正定．

解析

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考研数学一

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