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设3阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值,若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α=3(-1,2,-3)T都是A属于λ=6的特征向量,求矩阵A.
设3阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值,若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α=3(-1,2,-3)T都是A属于λ=6的特征向量,求矩阵A.
admin
2016-05-31
52
问题
设3阶实对称矩阵A的秩为2,λ
1
=λ
2
=6是A的二重特征值,若α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(2,1,1)
T
,α=
3
(-1,2,-3)
T
都是A属于λ=6的特征向量,求矩阵A.
选项
答案
由r(A)=2知,|A|=0,所以λ=0是A的另_特征值. 因为λ
1
=λ
2
=6是实对称矩阵的二重特征值,故A属于λ=6的线性无关的特征向量有两个,因此α
1
,α
2
,α
3
必线性相关,显然α
1
,α
2
线性无关. 设矩阵A属于λ=0的特征向量α=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,故有 [*] 解出此方程组的基础解系α=(-1,1,1)
T
. 根据A(α
1
,α
2
,α
3
)=(6α
1
,6α
2
,0),因此 A=(6α
1
,6α
2
,0)(α
1
,α
2
,α)
-1
=[*]
解析
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考研数学三
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