2. 考研
  3. 设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTB＝0，记n阶矩阵A＝αβT，求： (I)A2； (II)矩阵A的特征值和特征向量．

设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTB＝0，记n阶矩阵A＝αβT，求： (I)A2； (II)矩阵A的特征值和特征向量．

admin2012-05-15  89
问题 设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTB＝0，记n阶矩阵A＝αβT，求：
(I)A2；
(II)矩阵A的特征值和特征向量．
选项
答案(I)由题设，α，β都是非零向量，且αTβ＝0，则βTα=0，则A2＝(αβT)(αβT)＝(βTα)αβT＝0，即A2为零矩阵． (Ⅱ)由特征值与特征向量的定义，设λ为A的特征值，x为其相应的特征向量，则Ax＝λx，x≠0，由前述知A2=0，从而0＝AAx＝λAx＝λ2x，即λ＝0，所以A的所有特征值都为0． [*]
解析
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考研数学三

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