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  3. 设f(χ)＝χsinχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，其中f(χ)连续，求f(χ)．

设f(χ)＝χsinχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，其中f(χ)连续，求f(χ)．

admin2017-12-23  23
问题 设f(χ)＝χsinχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，其中f(χ)连续，求f(χ)．
选项
答案将原方程改写为 f(χ)＝χsinχ－χ∫0χf(t)dt＋∫0χtf(t)dt． 因为f(χ)连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数f(χ)也可微．两端对χ求导，又原式中令χ＝0，则原方程等价于 f′(χ)＝χcosχ＋sinχ－∫0χf(t)dt，f(0)＝0． (6．7) 同理，方程右端仍可微，所以f(χ)存在二阶导数，再将(6．7)中的方程两边求导，并令χ＝0，则得(6．7)等价于 f〞(χ)＝－χsinχ＋2cosχ－f(χ)，f′(0)＝0，f(0)＝0． 即y＝f(χ)满足微分方程的初值问题 y〞＋y＝－χsinχ＋2cosχ，y(0)＝0，y′(0)＝0． (6．8) 由于此方程的特征根为±i，所以其特解应具形式y〞(χ)＝χ(Aχ＋B)cosχ＋χ(Cχ＋D)sinχ．代入方程，求出系数A，B，C，D，则得其特解y*(χ)＝[*]χsinχ，进而方程的通解为 y＝f(χ)＝[*]χsinχ＋C1cosχ＋C2sinχ (6．9) 由f(0)＝0可知C1＝0，而由f′(0)＝0又可推出C2＝0，所以f(χ)＝[*]．
解析
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考研数学二

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