已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。求正交变换x=Qy将f化为标准形。

admin2018-02-07 41

问题已知A=

，二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2。
求正交变换x=Qy将f化为标准形。

选项

答案由上问中结果，令矩阵B=[*]，｜λE—B｜=[*]=λ(λ一2)(λ一6)=0，解得矩阵B的特征值为λ₁=0，λ₂=2，λ₃=6。由(λ_iE—B)x=0，得对应特征值λ₁=0，λ₂=2，λ₃=6的特征向量分别为 η₁=(一1，一1，1)^T，η₂=(一1，1，0)^T，η₃=(1，1，2)^T。将η₁，η₂，η₃单位化可得： [*] 令Q=(α₁，α₂，α₃)=[*]，则正交变换x=Qy可将原二次型化为2y₂²+6y₃²。

解析

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证明：当x≥5时，2x＞x2．
设，证明fˊ(x)在点x=0处连续．
试确定常数A，B，C的值，使得ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)，其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小．
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