设A是三阶矩阵,α1=[1,2,-2]T, α2=[2,1,-1]T, α3=[1,1,t]T是线性非齐次方程组AX=b的解向量,其中b=[1,3,一2]T,则( ).

admin2016-11-03  29

问题 设A是三阶矩阵,α1=[1,2,-2]T,  α2=[2,1,-1]T,  α3=[1,1,t]T是线性非齐次方程组AX=b的解向量,其中b=[1,3,一2]T,则(    ).

选项 A、t=-1,必有r(A)=1
B、t=-1,必有r(A)=2
C、t≠-1,必有r(A)=1
D、t≠-1,必有r(A)=2

答案C

解析 令B=[α1,α2,α3],则
AB=[b,b,b],  r(AB)=r([b,b,b])=1.
注意到t≠一1时,r(B)=3,从而r(AB)=r(A)=1,也可由方程组AX=b解的结构原理直接推出r(A)=1.    ‘
将已知关系式Aαi=b(i=1,2,3)合并成一个矩阵等式:
A[α1,α2,α3]=[Aα1,Aα2,Aα3]=[b,b,b]=
令    B=[α1,α2,α3]=
则    AB=[b,b,b].
当t=-1时,因B中第2,3行成比例,故r(B)=2.这时由r(AB)=1只能得到r(A)≥r(AB)=1.(A)、(B)都不对,
当t≠一1时,因r(B)=3,故r(AB)=r(A)=1.仅(C)入选.
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