设矩阵A=(aij)m×n,其秩r(A)=r,则非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是[ ].

admin2014-09-08  47

问题 设矩阵A=(aij)m×n,其秩r(A)=r,则非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是[    ].

选项 A、r=m
B、m=n
C、r=n
D、m<n

答案A

解析 当r(A)=r=m时,矩阵A的m个行向量线性无关,因此,线性方程组Ax=b的增广矩阵,所以Ax=b有解.
    故选A.
    注意  r=m仅是线性方程组Ax=b有解的充分条件,当Ax=b有解时,不一定有r(A)=r=m.例如,取
               
时,Ax=b有唯一解x1=1,,显然r(A)=2≠3(行数).
    下面举例说明B,C,D中条件成立,均不一定有r(A)=,从而Ax=b不一定
    例如,当时,m=n=2,但r(A)=2,.因此,Ax=b
    当,因此,Ax=b无解,不选C。
,因此,Ax=b无解,不选D。
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