设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且试证:存在点ξ∈(0,1),使得 f’(ξ)=0.

admin2017-05-31  23

问题 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且试证:存在点ξ∈(0,1),使得 f’(ξ)=0.

选项

答案因为f(x)在[0,1]上连续,由积分中值定理,存在点c∈[*]使得 [*]又f(x)在[0,c]上连续,在(0,c)内可导,且f(0)=f(c).由洛尔定理,存在点ξ∈(0,c)[*](0,1),使得f’(ξ)=0.

解析 待证结论含有导数,所以用洛尔定理证明.证明的关键是在[0,1]内构造辅助区间[0,c],使得f(0)=f(c).点c可由已知条件和积分中值定理得到.
本题中的条件可换为一般形式:只需f(x)为连续函数,便可由积分中值定理找到使f(a)=f(c)的辅助区间[a,c][a,b].
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