已知A是3阶矩阵，αi(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令 α=α1+α2+α3 (Ⅰ)证明：α，Aα，A2α线性无关； (Ⅱ)设P=(α，Aα，A2α)，求P－1AP．

admin2015-05-07 34

问题已知A是3阶矩阵，α_i(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aα_i=iα_i(i=1，2，3)，令
α=α₁+α₂+α₃
(Ⅰ)证明：α，Aα，A²α线性无关；
(Ⅱ)设P=(α，Aα，A²α)，求P^－1AP．

选项

答案(Ⅰ)由Aα₁=α₁，Aα₂=2α₂，Aα₃=3α₃，且α₁，α₂，α₃非零可知，α₁，α₂，α₃ 是A的不同特征值的特征向量，故α₁，α₂，α₃线性无关．又Aα=α₁+2α₂+3α₃，Aα=α₁+4α₂+9α₃，若k₁α+k₂Aα+k₃Aα=0，即 k₁(α₁+α₂+α₃)+k₂(α₁+2α₂+3α₃)+k₃(α₁+4α₂+9α₃) =0，则 (k₁+k₂+k₃)α₁+(k₁+2k₂+4k₃)α₂+(k₁+3k₂+9k₃)α₃=0．由α₁，α₂，α₃线性无关，得齐次线性方程组 [*] 因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0，所以必有k₁=k₂=k₃=0，即α，Aα，A²α线性无关． (Ⅱ)因为A³α=α₁+8α₂+27a₃=6α－11Aα+6A²α，所以 AP=A(α，Aα，A²α) =(Aα，A²α，6α－11Aα+6A²α)=(α，Aα，A²)[*] 故P^－1AP=[*]

解析

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考研数学一

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已知A是3阶矩阵，αi(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令 α=α1+α2+α3 (Ⅰ)证明：α，Aα，A2α线性无关； (Ⅱ)设P=(α，Aα，A2α)，求P－1AP．

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设n维行向量α=[1/2，0，…，0，1/2]，矩阵A=E-αTα，B=E+2αTα，则AB=()．

设n阶矩阵A与B等价，下列命题错误的是()．

已知A是3阶实对称矩阵，且tr(A)=-6，AB=C，其中求矩阵A．

设矩阵有三个线性无关的特征向量，求满足条件的x，y．

设A是秩为n-1的n阶矩阵，α1，α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，k是任意常数，则Ax=0的通解必定是()．

按两种不同积分次序化二重积分为二次积分，其中D为：直线y=x，抛物线y2=4x所围闭区域；

设方程y’+P(x)y=x2，其中P(x)=求在(一∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．

设F(x+z/y，y+z/x)=0且F可微，证明

设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=，求(1)k的值；(2)X的分布函数F(x)．

设每次试验成功的概率为0．2，失败的概率为0．8，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为X，则E(X)＝____________．

曲面2x3-yez-ln(z+1)=0在点(1，2，0)处的切平面方程为_______．

行业风险分析不但能够帮助商业银行对行业的整体共性风险有所认识，而且可以由此对行业中的每个企业都有一个准确定位。()

在我国现行税制中，对部分税种实行起征点、免征额的减免优惠制度，下列税种中，规定了起征点的有(　　　)。

新凯恩斯主义学派在坚持凯恩斯主义思想的基础上，接受了一些新古典学派的观点，该学派认为当劳动供给大于需求时()

劳动对象

设总体X～N(0，σ2)(σ2已知)，X1，…，X是取自总体X的简单随机样本，S2为样本方差，则下列正确的是()

下列关于无线局域网设备的描述中，错误的是()。

控制器的功能是(　　)。

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已知A是3阶实对称矩阵，且tr(A)=-6，AB=C，其中求矩阵A．

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设A是秩为n-1的n阶矩阵，α1，α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，k是任意常数，则Ax=0的通解必定是()．

按两种不同积分次序化二重积分为二次积分，其中D为：直线y=x，抛物线y2=4x所围闭区域；

设方程y’+P(x)y=x2，其中P(x)=求在(一∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．

设F(x+z/y，y+z/x)=0且F可微，证明

设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=，求(1)k的值；(2)X的分布函数F(x)．

设每次试验成功的概率为0．2，失败的概率为0．8，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为X，则E(X)＝____________．

曲面2x3-yez-ln(z+1)=0在点(1，2，0)处的切平面方程为_______．

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