若二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、负惯性指数都是1．则a=________．

admin2021-07-27 37

问题若二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+ax₂²+x₃²+2x₁x₂-2x₂x₃-2ax₁x₃的正、负惯性指数都是1．则a=________．

选项

答案-2

解析二次型f的矩阵

已知正惯性指数p=1，负惯性指数q=r-p=1，所以矩阵A的秩r(A)=r=2，有｜A｜=-(a-1)²(a+2)=0，得a=1或a=-2．当a=1时，r(A)=1，不符合题意，舍去．当a=-2时，r(A)=2，且A的特征多项式

A的特征值为λ₁=3，λ₂=-3，λ₃=0．故二次型f的规范形为f=y₁²-y₂²，其正惯性指数p=1，负惯性指数q=1，符合题意，故a=-2．

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考研数学二

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