2. 考研
  3. 若二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、负惯性指数都是1．则a=________．

若二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、负惯性指数都是1．则a=________．

admin2021-07-27  62
问题 若二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、负惯性指数都是1．则a=________．
选项
答案-2
解析 二次型f的矩阵已知正惯性指数p=1，负惯性指数q=r-p=1，所以矩阵A的秩r(A)=r=2，有｜A｜=-(a-1)2(a+2)=0，得a=1或a=-2．当a=1时，r(A)=1，不符合题意，舍去．当a=-2时，r(A)=2，且A的特征多项式A的特征值为λ1=3，λ2=-3，λ3=0．故二次型f的规范形为f=y12-y22，其正惯性指数p=1，负惯性指数q=1，符合题意，故a=-2．
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考研数学二

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