2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，｜f’(x)｜≤1(x∈[0，1])，f(0)=f(1)，证明：对任意的x∈[0，1]，有｜f’(x)｜≤1/2。

设f(x)在[0，1]上二阶可导，｜f’(x)｜≤1(x∈[0，1])，f(0)=f(1)，证明：对任意的x∈[0，1]，有｜f’(x)｜≤1/2。

admin2021-01-28  59
问题 设f(x)在[0，1]上二阶可导，｜f’(x)｜≤1(x∈[0，1])，f(0)=f(1)，证明：对任意的x∈[0，1]，有｜f’(x)｜≤1/2。
选项
答案对任意的x∈[0，1]，由泰勒公式得 f(0)=f(x)-f’(x)x+[f”(ζ1)/2!]x2，其中ζ1介于0与x之间； f(1)=f(x)+f’(x)(1-x)+[f”(ζ2)/2!](1-x2)，其中ζ2介于x与1之间， 两式相减得0=f’(x)+1/2[f"(ζ2)(1-x)2-f"(ζ1)x2]，于是 ｜f’(x)｜≤1/2[f"(ζ2)(1-x)2-f"(ζ1)x2]。 由｜f"(x)≤1(x∈[0，1])得｜f’(x)｜≤1/2[(1-x)2+x2]， 令φ(x)=(1-x)2+x2，令φ’(x)=0，得x=1/2，因为φ(0)=φ(1)=1，φ(1/2)=1/2．所以 φ(x)=(1-x)+2+x2在[0，1]上的最大值为1，故｜f’(x)｜≤1/2。
解析
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考研数学三

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