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设f(x)在[0,1]上二阶可导,|f’(x)|≤1(x∈[0,1]),f(0)=f(1),证明:对任意的x∈[0,1],有|f’(x)|≤1/2。
设f(x)在[0,1]上二阶可导,|f’(x)|≤1(x∈[0,1]),f(0)=f(1),证明:对任意的x∈[0,1],有|f’(x)|≤1/2。
admin
2021-01-28
54
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,|f’(x)|≤1(x∈[0,1]),f(0)=f(1),证明:对任意的x∈[0,1],有|f’(x)|≤1/2。
选项
答案
对任意的x∈[0,1],由泰勒公式得 f(0)=f(x)-f’(x)x+[f”(ζ
1
)/2!]x
2
,其中ζ
1
介于0与x之间; f(1)=f(x)+f’(x)(1-x)+[f”(ζ
2
)/2!](1-x
2
),其中ζ
2
介于x与1之间, 两式相减得0=f’(x)+1/2[f"(ζ
2
)(1-x)
2
-f"(ζ
1
)x
2
],于是 |f’(x)|≤1/2[f"(ζ
2
)(1-x)
2
-f"(ζ
1
)x
2
]。 由|f"(x)≤1(x∈[0,1])得|f’(x)|≤1/2[(1-x)
2
+x
2
], 令φ(x)=(1-x)
2
+x
2
,令φ’(x)=0,得x=1/2,因为φ(0)=φ(1)=1,φ(1/2)=1/2.所以 φ(x)=(1-x)+
2
+x
2
在[0,1]上的最大值为1,故|f’(x)|≤1/2。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Llx4777K
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考研数学三
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