设有n元实二次型f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2,其中ai(i=1,2,…,n)为实数,试问:当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f(x1,x2,…,xn

admin2016-07-11  30

问题 设有n元实二次型f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2,其中ai(i=1,2,…,n)为实数,试问:当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f(x1,x2,…,xn)为正定二次型?

选项

答案由已知条件知,对任意的x1,x2,…,xn,恒有f(x1,x2,…,xn)≥0,其中等号成立的充分必要条件是 [*] 根据正定的定义,只要x≠0,恒有xTAx>0,则xTAx是正定二次型,为此,只要方程组①仅有零解,就必有当x≠0时,x1+a1x2,x2+a2x3,…不全为0,从而f(x1,x2,…,xn)>0,亦即f是正定二次型. 而方程组①中只有零解的充分必要条件是系数行列式 [*] 即当a1a2…an≠(一1)n时,二次型f(x1,x2,…,xn)为正定二次型.

解析
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