2. 自考
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设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数，试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn

admin2016-07-11  52
问题 设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数，试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型?
选项
答案由已知条件知，对任意的x1，x2，…，xn，恒有f(x1，x2，…，xn)≥0，其中等号成立的充分必要条件是 [*] 根据正定的定义，只要x≠0，恒有xTAx＞0，则xTAx是正定二次型，为此，只要方程组①仅有零解，就必有当x≠0时，x1+a1x2，x2+a2x3，…不全为0，从而f(x1，x2，…，xn)＞0，亦即f是正定二次型． 而方程组①中只有零解的充分必要条件是系数行列式 [*] 即当a1a2…an≠(一1)n时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型．
解析
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