设λ1,λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同特征值,α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量.试求矩阵B=A—λ1ααT的两个特征值.

admin2017-07-26  30

问题 设λ1,λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同特征值,α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量.试求矩阵B=A—λ1ααT的两个特征值.

选项

答案因为α是A的属于λ1的单位特征向量,故有Aα=λ1α,及αTα=1,于是有 Bα=(A—λ1ααT)α=Aα—λ1α(αTα) =λ1α一λ1α=0=0α, 故0为B的一个特征值,且α为对应的特征向量. 设B为A的属于特征值λ2的特征向量,则有Aβ=λ2β,且由实对称矩阵的性质,有α与β正交,即αTβ=0,于是有 Bβ(A—λ1ααT)β=Aβ一λ1α(αTβ)=Aβ一0=λ2β, 故λ2为B的一个特征值且β为对应的特征向量. 所以B必有特征值0和λ2

解析
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