2. 考研
  3. 设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量．试求矩阵B=A—λ1ααT的两个特征值．

设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量．试求矩阵B=A—λ1ααT的两个特征值．

admin2017-07-26  33
问题 设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量．试求矩阵B=A—λ1ααT的两个特征值．
选项
答案因为α是A的属于λ1的单位特征向量，故有Aα=λ1α，及αTα=1，于是有 Bα=(A—λ1ααT)α=Aα—λ1α(αTα) =λ1α一λ1α=0=0α， 故0为B的一个特征值，且α为对应的特征向量． 设B为A的属于特征值λ2的特征向量，则有Aβ=λ2β，且由实对称矩阵的性质，有α与β正交，即αTβ=0，于是有 Bβ(A—λ1ααT)β=Aβ一λ1α(αTβ)=Aβ一0=λ2β， 故λ2为B的一个特征值且β为对应的特征向量． 所以B必有特征值0和λ2．
解析
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考研数学三

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