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设λ1,λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同特征值,α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量.试求矩阵B=A—λ1ααT的两个特征值.
设λ1,λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同特征值,α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量.试求矩阵B=A—λ1ααT的两个特征值.
admin
2017-07-26
30
问题
设λ
1
,λ
2
是n阶实对称矩阵A的两个不同特征值,α是A的对应于特征值λ
1
的一个单位特征向量.试求矩阵B=A—λ
1
αα
T
的两个特征值.
选项
答案
因为α是A的属于λ
1
的单位特征向量,故有Aα=λ
1
α,及α
T
α=1,于是有 Bα=(A—λ
1
αα
T
)α=Aα—λ
1
α(α
T
α) =λ
1
α一λ
1
α=0=0α, 故0为B的一个特征值,且α为对应的特征向量. 设B为A的属于特征值λ
2
的特征向量,则有Aβ=λ
2
β,且由实对称矩阵的性质,有α与β正交,即α
T
β=0,于是有 Bβ(A—λ
1
αα
T
)β=Aβ一λ
1
α(α
T
β)=Aβ一0=λ
2
β, 故λ
2
为B的一个特征值且β为对应的特征向量. 所以B必有特征值0和λ
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LrH4777K
0
考研数学三
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