2. 考研
  3. f(x)在[－1,1]上三阶连续可导，且f(－1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明：存在ξ∈(－1,1),使得f"’(ξ)=3.

f(x)在[－1,1]上三阶连续可导，且f(－1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明：存在ξ∈(－1,1),使得f"’(ξ)=3.

admin2021-11-25  15
问题 f(x)在[－1,1]上三阶连续可导，且f(－1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明：存在ξ∈(－1,1),使得f"’(ξ)=3.
选项
答案由泰勒公式，得 [*] 两式相减得，f"’(ξ1)+f"’(ξ2)=6 因为f(x)在[－1,1]上三阶连续可导，所以f"’(x)在[ξ1,ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f”’(x)在[ξ1,ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f"’(ξ1)+f"’(ξ2)≤2M,即m≤3≤M. 由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1,ξ2][*](－1,1)，使得f"’(ξ)=3.
解析
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考研数学二

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