2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足 ∫abf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈[a,b)∫abf(t)dt=∫abg(t)dt，证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx．

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足 ∫abf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈[a,b)∫abf(t)dt=∫abg(t)dt，证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx．

admin2019-05-11  31
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足
    ∫abf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈[a,b)∫abf(t)dt=∫abg(t)dt，证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx．
选项
答案当x∈[a，b)时， ∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt[*]∫ax[f(t)一g(t)]dt≥0， ∫abf(t)dt=∫abg(t)dt[*]∫ab[f(t)一g(t)]dt=0， ∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx[*]∫abx[f(x)一g(x)]dx≤0， 令G(x)=∫ax[f(t)一g(t)]dt，则G’(x)=f(x)一g(x)，于是 ∫abx[f(x)一g(x)]dx=∫abxd(∫ax[f(t)一g(t)]dt)[*] x∫ax[f(t)-g(t)]dt|ab-∫ab{∫ax[f(t)-g(t)]dt}dx =一∫ab{∫ax[f(t)一g(t)]dt}dx≤0(G(x)=∫ax[f(t)一g(t)]dt≥0)， 即∫ab[f(x)-g(x)]dx≤0,即∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx．
解析
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考研数学二

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