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设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足 ∫abf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈[a,b)∫abf(t)dt=∫abg(t)dt,证明:∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx.
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足 ∫abf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈[a,b)∫abf(t)dt=∫abg(t)dt,证明:∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx.
admin
2019-05-11
58
问题
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足
∫
a
b
f(t)dt≥∫
a
x
g(t)dt,x∈[a,b)∫
a
b
f(t)dt=∫
a
b
g(t)dt,证明:∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx.
选项
答案
当x∈[a,b)时, ∫
a
x
f(t)dt≥∫
a
x
g(t)dt[*]∫
a
x
[f(t)一g(t)]dt≥0, ∫
a
b
f(t)dt=∫
a
b
g(t)dt[*]∫
a
b
[f(t)一g(t)]dt=0, ∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx[*]∫
a
b
x[f(x)一g(x)]dx≤0, 令G(x)=∫
a
x
[f(t)一g(t)]dt,则G’(x)=f(x)一g(x),于是 ∫
a
b
x[f(x)一g(x)]dx=∫
a
b
xd(∫
a
x
[f(t)一g(t)]dt)[*] x∫
a
x
[f(t)-g(t)]dt|
a
b
-∫
a
b
{∫
a
x
[f(t)-g(t)]dt}dx =一∫
a
b
{∫
a
x
[f(t)一g(t)]dt}dx≤0(G(x)=∫
a
x
[f(t)一g(t)]dt≥0), 即∫
a
b
[f(x)-g(x)]dx≤0,即∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx.
解析
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考研数学二
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