设α1，α2，…，αn(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α1＋α2，α2＋α3，…，αn＋α1线性无关．

admin2017-09-15 51

问题设α₁，α₂，…，α_n(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α₁＋α₂，α₂＋α₃，…，α_n＋α₁线性无关．

选项

答案设有χ₁，χ₂，…，χ_n，使χ₁(α₁＋α₂)＋χ₂(α₂＋α₃)＋…＋χ_n(α_n＋α₁)＝0，即 (χ₁＋χ_n)α₁＋(χ₁＋χ₂)α₂＋…＋(χ_n-1＋χ_n)α_n＝0，因为α₁，α₂，…，α_n线性无关，所以有[*]，该方程组系数行列式D_n＝1＋ (－1)^n-1，n为奇数[*]D_n≠0[*]χ₁＝…＝χ_n＝0 [*]α₁＋α₂，α₂＋α₃，…，α_n＋α₁线性无关．

解析

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