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假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证:(1)在开区间(a,b)内g(x)≠0; (2)在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使.
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证:(1)在开区间(a,b)内g(x)≠0; (2)在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使.
admin
2018-08-12
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问题
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证:(1)在开区间(a,b)内g(x)≠0;
(2)在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使
.
选项
答案
(1)用反证法,假设存在一点为零,可导出矛盾; (2)用原函数法构造辅助函数:F(x)=f(x)g’(x)-g(x)f’(x).利用罗尔定理即得.
解析
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考研数学二
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