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如图1—5—1,C1和C2分别是y=(1+ex)和y=ex的图象,过点(0,1)的曲线C3是一单调增函数的图象。过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly。记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x);C2,C3与ly所围图形的面积为
如图1—5—1,C1和C2分别是y=(1+ex)和y=ex的图象,过点(0,1)的曲线C3是一单调增函数的图象。过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly。记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x);C2,C3与ly所围图形的面积为
admin
2018-01-30
63
问题
如图1—5—1,C
1
和C
2
分别是y=
(1+e
x
)和y=e
x
的图象,过点(0,1)的曲线C
3
是一单调增函数的图象。过C
2
上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线l
x
和l
y
。记C
1
,C
2
与l
x
所围图形的面积为S
1
(x);C
2
,C
3
与l
y
所围图形的面积为S
2
(y)。如果总有S
1
(x)=S
2
(y),求曲线C
3
的方程x=φ(y)。
选项
答案
由已知条件 S
1
(x)=∫
0
x
[e
t
一[*](1+e
t
)]dt=[*](e
t
—t)|
0
x
=[*](e
x
一x一1), S
2
(y)=∫
1
y
(lnt一φ(t)dt, 故有[*](e
x
一x一1)=∫
1
y
(lnt一φ(t))dt, 而y=e
x
,于是 [*](y一lny一1)=∫
1
y
(lnt一φ(t))dt, 两边对y求导得 [*]=lny一φ(y), 故所求的函数关系为 x=φ(y) =lny—[*]。
解析
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