如图1—5—1，C1和C2分别是y=(1+ex)和y=ex的图象，过点(0，1)的曲线C3是一单调增函数的图象。过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly。记C1，C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2，C3与ly所围图形的面积为

admin2018-01-30 78

问题如图1—5—1，C₁和C₂分别是y=

(1+e^x)和y=e^x的图象，过点(0，1)的曲线C₃是一单调增函数的图象。过C₂上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线l_x和l_y。记C₁，C₂与l_x所围图形的面积为S₁(x)；C₂，C₃与l_y所围图形的面积为S₂(y)。如果总有S₁(x)=S₂(y)，求曲线C₃的方程x=φ(y)。

选项

答案由已知条件 S₁(x)=∫₀^x[e^t一[*](1+e^t)]dt=[*](e^t—t)｜₀^x=[*](e^x一x一1)， S₂(y)=∫₁^y(lnt一φ(t)dt，故有[*](e^x一x一1)=∫₁^y(lnt一φ(t))dt，而y=e^x，于是 [*](y一lny一1)=∫₁^y(lnt一φ(t))dt，两边对y求导得 [*]=lny一φ(y)，故所求的函数关系为 x=φ(y) =lny—[*]。

解析

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考研数学二

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如图1—5—1，C1和C2分别是y=(1+ex)和y=ex的图象，过点(0，1)的曲线C3是一单调增函数的图象。过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly。记C1，C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2，C3与ly所围图形的面积为

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