设f(x)在区间[0，1]上可微，且满足条件f(1)=2∫01/2xf(x)dx，试证：存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

admin2013-10-11 51

问题设f(x)在区间[0，1]上可微，且满足条件f(1)=2∫₀^1/2xf(x)dx，试证：存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)+ξf^’(ξ)=0．

选项

答案由结论可知，若令φ(x)=xf(x)，则φ^’(x)=f(x)+xf^’(x)．因此，只需证明φ(x)在[0，1]内某一区间上满足罗尔定理的条件．令φ(x)=xf(x)，由积分中值定理可知，存在[*] 于是φ(1)=f(1)=φ(η)，并且φ(x)在[η，1]上连续，在(η，1)上可导，故由罗尔定理可知，存在ξ∈(η，1)[*](0，1)使得φ^’(ξ)=0，即f(ξ)+ξf^’(ξ)=0．

解析

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考研数学三

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