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[2006年] 证明:当0<a<b<π时,b sinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.
[2006年] 证明:当0<a<b<π时,b sinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.
admin
2019-04-05
45
问题
[2006年] 证明:当0<a<b<π时,b sinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.
选项
答案
构造辅助函数,转化为函数不等式用单调性证之. 证一 因a=b时,待证不等式成为恒等式,故可将一常数b改为x,构造辅助函数 F(x)=xsinx+2cosx+2cosx+πx一asina一2cosa一πa, 则 F′(x)=xcosx一sinx+π, 且 F′(0)=π, F′(π)=0. 因F′(x)的符号无法确定,再求F″(x)=一xsinx<0(0<x<π).因而F′(x)在(0,π)内 单调减少.由F′(x)=0得到 F′(x)>F′(π)=0 (0<x<π). 故F(x)在(0,π)内单调增加.当0<a<x<b时,有F(b)>F(a)=0,即 b sinb+2cosb+πb>a sina+a cosa+πa. 证二 视上述不等式为单变量x在a,b处之值的不等式.令F(x)=xsinx+2cosx+πx. 下面证F(b)>F(a).为此证F(x)在0<x<π内单调增加. 因F′(x)=xcosx—sinx+π的符号无法确定,再求其二阶导数.因 F″(x)=一x sinx<0 (0<<x<π), 故F′(x)在(0,π)内单调减少.因而当0<x<π时,有F′(x)>F′(π)=0,则F(x)在(0,π)内单调增加.于是0<a<b时,有 F(b)>F(a), 即 b sinb+2cosb+πb>a sina+2cosa+πa.
解析
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考研数学二
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