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[2006年] 证明：当0＜a＜b＜π时，b sinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．

admin2019-04-05  76
问题 [2006年]  证明：当0＜a＜b＜π时，b sinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．
选项
答案 构造辅助函数，转化为函数不等式用单调性证之． 证一 因a=b时，待证不等式成为恒等式，故可将一常数b改为x，构造辅助函数 F(x)=xsinx+2cosx+2cosx+πx一asina一2cosa一πa， 则 F′(x)=xcosx一sinx+π， 且 F′(0)=π， F′(π)=0． 因F′(x)的符号无法确定，再求F″(x)=一xsinx＜0(0＜x＜π)．因而F′(x)在(0，π)内 单调减少．由F′(x)=0得到 F′(x)＞F′(π)=0 (0＜x＜π)． 故F(x)在(0，π)内单调增加．当0＜a＜x＜b时，有F(b)＞F(a)=0，即 b sinb+2cosb+πb＞a sina+a cosa+πa． 证二 视上述不等式为单变量x在a，b处之值的不等式．令F(x)=xsinx+2cosx+πx． 下面证F(b)＞F(a)．为此证F(x)在0＜x＜π内单调增加． 因F′(x)=xcosx—sinx+π的符号无法确定，再求其二阶导数．因 F″(x)=一x sinx＜0 (0<＜x＜π)， 故F′(x)在(0，π)内单调减少．因而当0＜x＜π时，有F′(x)＞F′(π)=0，则F(x)在(0，π)内单调增加．于是0＜a＜b时，有 F(b)＞F(a)， 即 b sinb+2cosb+πb＞a sina+2cosa+πa．
解析
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考研数学二

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