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[2008年] 设a,β为三维列向量,矩阵A=ααT+ββT,其中αT,βT分别是α,β的转置.证明:(I)秩(A)≤2;(Ⅱ)若α,β线性相关,则秩(A)<2.
[2008年] 设a,β为三维列向量,矩阵A=ααT+ββT,其中αT,βT分别是α,β的转置.证明:(I)秩(A)≤2;(Ⅱ)若α,β线性相关,则秩(A)<2.
admin
2019-05-10
57
问题
[2008年] 设a,β为三维列向量,矩阵A=αα
T
+ββ
T
,其中α
T
,β
T
分别是α,β的转置.证明:(I)秩(A)≤2;(Ⅱ)若α,β线性相关,则秩(A)<2.
选项
答案
注意到A为列向量与行向量相乘的形式有关,其秩的问题要用命题2.2.3.2(5)的结论,即秩(A)≤1解之. (I)解一 直接利用命题2.2.3.2(5)的结论得秩(αα
T
)≤1,秩(ββ
T
)≤1.再利用命题2.2.3.1(3),得到秩(A)=秩(αα
T
+ββ
T
)≤秩(αα
T
)+秩(ββ
T
)≤2. 解二 设α,β为三维列向量:a=[a
1
,a
2
,a
3
]
T
,β=[b
1
,b
2
,b
3
]
T
,则 αβ
T
=[*][b
1
,b
2
,b
3
]=[*] 故秩(αβ
T
)≤1.因而有秩(αα
T
)≤1,秩(ββ
T
)≤1,于是秩(A)=秩(αα
T
+ββ
T
)≤秩(αα
T
)+秩(ββ
T
)≤1+l≤2. (Ⅱ)因α,β线性相关,不妨设k≠0使β=kα,则 秩(A)=秩(αα
T
+(kα)(kα)
T
)=秩(αα
T
+k
2
αα
T
)=秩((1+k
2
)αα
T
)=秩(αα
T
)≤1<2.
解析
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考研数学二
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