[2008年] 设a，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明：(I)秩(A)≤2；(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩(A)＜2．

admin2019-05-10 79

问题 [2008年] 设a，β为三维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β的转置．证明：(I)秩(A)≤2；(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩(A)＜2．

选项

答案注意到A为列向量与行向量相乘的形式有关，其秩的问题要用命题2．2．3．2(5)的结论，即秩(A)≤1解之． (I)解一直接利用命题2．2．3．2(5)的结论得秩(αα^T)≤1，秩(ββ^T)≤1．再利用命题2．2．3．1(3)，得到秩(A)=秩(αα^T+ββ^T)≤秩(αα^T)+秩(ββ^T)≤2．解二设α，β为三维列向量：a=[a₁，a₂，a₃]^T，β=[b₁，b₂，b₃]^T，则 αβ^T=[*][b₁，b₂，b₃]=[*] 故秩(αβ^T)≤1．因而有秩(αα^T)≤1，秩(ββ^T)≤1，于是秩(A)=秩(αα^T+ββ^T)≤秩(αα^T)+秩(ββ^T)≤1+l≤2． (Ⅱ)因α，β线性相关，不妨设k≠0使β=kα，则秩(A)=秩(αα^T+(kα)(kα)^T)=秩(αα^T+k²αα^T)=秩((1+k²)αα^T)=秩(αα^T)≤1＜2．

解析

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考研数学二

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[2008年] 设a，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明：(I)秩(A)≤2；(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩(A)＜2．

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