(2009年试题，18)设非负数函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy’’一y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．

admin2019-08-01 89

问题 (2009年试题，18)设非负数函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy^’’一y^’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．

选项

答案令p=y^’，则P^’=y^’’，从而微分方程xy^’’-y^’+2=0可化为xp^’-p+2=0当x>0时，微分方程为[*]则[*]进而可得到[*]当x=0时，y^’(0)=2，y^’’(0)=C，亦满足微分方程xy^’’-y^’+2=0因为曲线)，=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2，所以有C₂=0，且[*]则C₁=6,此时非负函数y=3x²+2x(x≥0)．于是，D绕y轴旋转所得旋转体体积为[*]

解析

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考研数学二

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(2009年试题，18)设非负数函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy’’一y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．

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