[2002年] 已知函数f(x)在(0，+∞)内可导，f(x)＞0，f(x)=1，且满足，求f(x)．

admin2019-04-05 69

问题 [2002年] 已知函数f(x)在(0，+∞)内可导，f(x)＞0，

f(x)=1，且满足

，求f(x)．

选项

答案先求出[*]的表示式，由极限的唯一性建立关于f(x)的微分方程，解之即可求得f(x)．设y=[*]，则lny=[*],因 [*]=x[lnyf(x)]＇故[*]=x[lnf(x)]＇，即[*]=e^x[lnf(x)]＇由题设和极限的唯一性得到e^x[lnf(x)]＇=e^1/x，则x[lnf(x)]＇=1／x，即[lnf(x)]＇一1／x²．两边积分得到f(x)=Ce^-1/x．由[*]f(x)=l得到C=1，故f(x)=e ．

解析

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