[2002年] 已知函数f(x)在(0,+∞)内可导,f(x)>0,f(x)=1,且满足,求f(x).

admin2019-04-05  20

问题 [2002年]  已知函数f(x)在(0,+∞)内可导,f(x)>0,f(x)=1,且满足,求f(x).

选项

答案 先求出[*]的表示式,由极限的唯一性建立关于f(x)的微分方程,解之即可求得f(x). 设y=[*],则lny=[*],因 [*]=x[lnyf(x)]' 故[*]=x[lnf(x)]',即[*]=ex[lnf(x)]' 由题设和极限的唯一性得到ex[lnf(x)]'=e1/x,则x[lnf(x)]'=1/x,即[lnf(x)]'一1/x2.两边积分得到f(x)=Ce-1/x.由[*]f(x)=l得到C=1,故f(x)=e .

解析
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