设n为正整数，． (Ⅰ)证明对于给定的n，F(x)有且仅有一个零(实)点，并且是正的，记该零点为an； (Ⅱ)证明幂级数处条件收敛，并求该幂级数的收敛域．

admin2019-01-24 95

问题设n为正整数，

．
(Ⅰ)证明对于给定的n，F(x)有且仅有一个零(实)点，并且是正的，记该零点为a_n；
(Ⅱ)证明幂级数

处条件收敛，并求该幂级数的收敛域．

选项

答案(Ⅰ)[*] 所以对于给定的n，F(x)有且仅有一个零点，记为a_n，且[*](n＝1，2，…) (Ⅱ)由于[*](n＝1，2，…)，所以有 [*] 所以{a_n)严格单调减少且[*]．由莱布尼茨定理知[*]收敛．但[*]所以[*]发散．所以幂级数[*]在x＝－1处条件收敛，且收敛域为[－1，1)．

解析

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考研数学一

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求幂级数的收敛区间．
设0＜x1＜1，xn+1=(n=1，2，…)．求证：{xn}收敛，并求其极限．
设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0．
设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=f(x)dx，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)＋f’’(ξ)=0．
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