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(O.stolz公式)设数列{xn},{yn}满足: (1)n∈N+,yn<yn+1, (2) (3)(a可为有限数,+∞,-∞),则
(O.stolz公式)设数列{xn},{yn}满足: (1)n∈N+,yn<yn+1, (2) (3)(a可为有限数,+∞,-∞),则
admin
2022-10-31
47
问题
(O.stolz公式)设数列{x
n
},{y
n
}满足:
(1)
n∈N
+
,y
n
<y
n+1
,
(2)
(3)
(a可为有限数,+∞,-∞),则
选项
答案
(1)设a为有限数,由数列极限定义及(3)式,对[*]ε>0,[*]N∈N
+
,使得当n>N时有a-ε<[*]<a+ε.于是得到一组不等式: (y
N+1
-y
N
)(a-ε)<x
N+1
-x
N
<(y
N+1
-y
N
)(a+ε), (y
N+2
-y
N+1
)(a-ε)<x
N+2
-x
N+1
<(y
N+2
-y
N+1
)(a+ε), ………… (y
n
-y
n-1
)(a-ε)<x
n
-x
n-1
<(y
n
-y
n-1
)(a+ε), 将不等式组中各不等式相加,得 (y
n
-y
N
)(a-ε)<x
n
-x
N
<(y
n
-y
N
)(a+ε), 即 [*] 对取定的ε>0及相应的n,当n→∞时y
n
→+∞,故a-ε≤[*]≤a+ε.由ε的任意性知, [*] (2)设a=+∞:则对[*]M>0,[*]N∈N
+
.使得当n>N时,[*]>M.类似于(1)的证明,可得一不等式组。经相同步骤后可得 [*]x
n
-x
N
>M(y
n
-y
N
), 移项并除以y
n
,得[*],取n→∞,由[*],由M的任意性,得 [*] 类似可证a=-∞的情形.
解析
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