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  3. (O．stolz公式)设数列{xn}，{yn}满足： (1)n∈N+，yn＜yn+1， (2) (3)(a可为有限数，+∞，-∞)，则

(O．stolz公式)设数列{xn}，{yn}满足： (1)n∈N+，yn＜yn+1， (2) (3)(a可为有限数，+∞，-∞)，则

admin2022-10-31  34
问题 (O．stolz公式)设数列{xn}，{yn}满足：
    (1)n∈N+，yn＜yn+1，
    (2)
    (3)(a可为有限数，+∞，-∞)，则
选项
答案(1)设a为有限数，由数列极限定义及(3)式，对[*]ε＞0，[*]N∈N+，使得当n＞N时有a-ε＜[*]＜a+ε．于是得到一组不等式： (yN+1-yN)(a-ε)＜xN+1-xN＜(yN+1-yN)(a+ε)， (yN+2-yN+1)(a-ε)＜xN+2-xN+1＜(yN+2-yN+1)(a+ε)， ………… (yn-yn-1)(a-ε)＜xn-xn-1＜(yn-yn-1)(a+ε)， 将不等式组中各不等式相加，得 (yn-yN)(a-ε)＜xn-xN＜(yn-yN)(a+ε)， 即 [*] 对取定的ε＞0及相应的n，当n→∞时yn→+∞，故a-ε≤[*]≤a+ε．由ε的任意性知， [*] (2)设a=+∞：则对[*]M＞0，[*]N∈N+．使得当n＞N时，[*]＞M．类似于(1)的证明，可得一不等式组。经相同步骤后可得 [*]xn-xN＞M(yn-yN)， 移项并除以yn，得[*]，取n→∞，由[*]，由M的任意性，得 [*] 类似可证a=-∞的情形．
解析
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考研数学一

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