已知椭圆C：x2+2y2=4， (1)求椭圆C的离心率； (2)设D为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论。

admin2017-02-22 36

问题已知椭圆C：x²+2y²=4，
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设D为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x²+y²=2的位置关系，并证明你的结论。

选项

答案(1)由题意，椭圆C的标准方程为[*]=1，所以a²=4，b²=2，从而c²=a²—b²=2， [*] (2)直线AB与圆x²+y²=2相切，证明如下：设点A，B的坐标分别为(x₀，y₀)，(t，2)，其中x≠0， [*] 此时直线AB与圆x²+y²=2相切；当x₀≠t时，直线AB的方程为y一2=[*](x一t)，即(y₀—2)x一(x₀—t)y+2x₀一ty₀=0 圆心O到直线AB的距离 [*] 此时直线AB与圆x²+y²=2相切。

解析

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已知椭圆C：x2+2y2=4， (1)求椭圆C的离心率； (2)设D为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论。

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