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  3. 设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

admin2016-09-19  80
问题 设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．
选项
答案(1)设r(A)=r1，r(ATA)=r2，由于AX=0的解都满足(ATA)X=AT(AX)=0，故AX=0的基础解系(含n－r1个无关解)含于ATAX=0的某个基础解系(含n－r2个无关解)之中，所以n－r1≤n－r2，故有r2≤r1，即 r(ATA)≤r(A)． ① 又当ATAX=0时(X为实向量)，必有XTATAX=0，即(AX)TAX=0，设AX=[b1，b2，…，bm]T，则(AX)T(AX)=[*]=0，必有b1=b2=…=bm=0，即AX=0，故方程组ATAX=0的解必满足方程组AX=0，从而有 n－r(ATA)≤n－r(A)， r(A)≤r(ATA)． ② 由式①，②得证r(A)=r(ATA)． (2)ATAX=ATb有解<=>r(ATA)-=r(ATA｜ATb)． 由(1)知r(A)=r(AT)=r(ATA)，将AT，ATA=B以列分块，且B=ATA的每个列向量均可由AT的列向量线性表出，故AT和B=ATA的列向量组是等价向量组，ATb是AT的列向量组的某个线性组合，从而r(AT)=r(AT｜ATb)=r(ATA｜ATb)，故 r(ATA)=r(AT)=r(AT｜ATb)=r(ATA｜ATb)， 故(ATA)X=ATb有解．
解析
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考研数学三

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