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设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．
设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．
admin
2016-09-19
33
问题
设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(A
T
A)=r(A)；(2)A
T
AX=A
T
b一定有解．
选项
答案
(1)设r(A)=r
1
，r(A
T
A)=r
2
，由于AX=0的解都满足(A
T
A)X=A
T
(AX)=0，故AX=0的基础解系(含n－r
1
个无关解)含于A
T
AX=0的某个基础解系(含n－r
2
个无关解)之中，所以n－r
1
≤n－r
2
，故有r
2
≤r
1
，即 r(A
T
A)≤r(A)． ① 又当A
T
AX=0时(X为实向量)，必有X
T
A
T
AX=0，即(AX)
T
AX=0，设AX=[b
1
，b
2
，…，b
m
]
T
，则(AX)
T
(AX)=[*]=0，必有b
1
=b
2
=…=b
m
=0，即AX=0，故方程组A
T
AX=0的解必满足方程组AX=0，从而有 n－r(A
T
A)≤n－r(A)， r(A)≤r(A
T
A)． ② 由式①，②得证r(A)=r(A
T
A)． (2)A
T
AX=A
T
b有解<=>r(A
T
A)-=r(A
T
A｜A
T
b)． 由(1)知r(A)=r(A
T
)=r(A
T
A)，将A
T
，A
T
A=B以列分块，且B=A
T
A的每个列向量均可由A
T
的列向量线性表出，故A
T
和B=A
T
A的列向量组是等价向量组，A
T
b是A
T
的列向量组的某个线性组合，从而r(A
T
)=r(A
T
｜A
T
b)=r(A
T
A｜A
T
b)，故 r(A
T
A)=r(A
T
)=r(A
T
｜A
T
b)=r(A
T
A｜A
T
b)， 故(A
T
A)X=A
T
b有解．
解析
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考研数学三
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