设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

admin2016-09-19 45

问题设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(A^TA)=r(A)；(2)A^TAX=A^Tb一定有解．

选项

答案(1)设r(A)=r₁，r(A^TA)=r₂，由于AX=0的解都满足(A^TA)X=A^T(AX)=0，故AX=0的基础解系(含n－r₁个无关解)含于A^TAX=0的某个基础解系(含n－r₂个无关解)之中，所以n－r₁≤n－r₂，故有r₂≤r₁，即 r(A^TA)≤r(A)． ① 又当A^TAX=0时(X为实向量)，必有X^TA^TAX=0，即(AX)^TAX=0，设AX=[b₁，b₂，…，b_m]^T，则(AX)^T(AX)=[*]=0，必有b₁=b₂=…=b_m=0，即AX=0，故方程组A^TAX=0的解必满足方程组AX=0，从而有 n－r(A^TA)≤n－r(A)， r(A)≤r(A^TA)． ② 由式①，②得证r(A)=r(A^TA)． (2)A^TAX=A^Tb有解<=>r(A^TA)-=r(A^TA｜A^Tb)．由(1)知r(A)=r(A^T)=r(A^TA)，将A^T，A^TA=B以列分块，且B=A^TA的每个列向量均可由A^T的列向量线性表出，故A^T和B=A^TA的列向量组是等价向量组，A^Tb是A^T的列向量组的某个线性组合，从而r(A^T)=r(A^T｜A^Tb)=r(A^TA｜A^Tb)，故 r(A^TA)=r(A^T)=r(A^T｜A^Tb)=r(A^TA｜A^Tb)，故(A^TA)X=A^Tb有解．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MVT4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

考研数学三

[*]

考虑一家商场某日5位顾客购买洗衣机的类型(直筒或滚筒)．设P(5位顾客全部购买滚筒洗衣机)=0．0768，P(5位顾客全部购买直筒洗衣机)=0．0102，那么两类洗衣机都至少卖出一台的概率是多大?

设α1=(2，-1，3，0)，α2=(1，2，0，-2)，α3=(0，-5，3，4)，α4=(-1，3，t，0)，则________时，α1，α2，α3，α4线性相关．

一根长为l的棍子在任意两点折断，试计算得到的三段能围成三角形的概率．

设向量组α1，α3，α3线性无关，问常数a，b，c满足什么条件时，aα1-α2，bα2-α3，cα3-α1线性相关?

已知二次型f(x1，x2，x3)的矩阵A有三个特征值1，-1，2，该二次型的规范形为________．

设P(A)=0或1，证明A与其他任何事件B相互独立．

求密度为常数μ，半径为R的球体x2＋y2＋z2≤R2对位于点(0，0，a)(a＞R)处单位质点的引力，并说明该引力如同将球的质量集中在球心时两质点间的引力．

试求下列微分方程在指定形式下的解:(1)y〞＋3yˊ＋2y＝0，形如y＝erx的解；(2)x2y〞＋6xyˊ＋4y＝0，形如y＝xλ的解．

某城市共有N辆汽车，车牌号码从1到N。有一人将他所遇到的该城市的n辆汽车的车牌号码(可能有重复的号码)全部抄下来，假设每辆汽车被遇到的机会相同，求抄到的最大号码正好是k(1≤k≤N)的概率。

《行政复议法》的制定机关是：

根据政党的活动范围，可以将其划分为()。

下列哪项是MRI检查的缺点

在等直梁平面弯曲的挠曲线上，曲率最大值发生在下面哪项的截面上?

人力资源内部供给预测的方法不包括()。

某些物质在一定的温度条件下，电阻会降为零，这一现象被称为()。

习近平主席在天津考察期间问大学生村官杨代显：“工作中情商重要还是智商重要?”请结合实际，谈谈你的看法。

A、 B、 C、 D、 D横向看第一行三个图形分别构成的封闭空间的个数为0，1，2；第二行为3，4，5；第三行为6，7，故填入问号处的图形应构成8个封闭空间，只有D项符合。

设an＞0，bn＞0，(n=1，2，…)，且满足，n=1，2，…，试证：(Ⅰ)若级数发散．