设λ1、λn分别为,2阶实对称矩阵A的最小和最大特征值,X1、Xn分别为对应于λ1和λn的特征向量,记 f(X)=,X∈Rn,X≠0 证明:λ1≤f(X)≤λn,maxf(X)=λn=f(Xn).

admin2018-04-18  33

问题 设λ1、λn分别为,2阶实对称矩阵A的最小和最大特征值,X1、Xn分别为对应于λ1和λn的特征向量,记
    f(X)=,X∈Rn,X≠0
    证明:λ1≤f(X)≤λn,maxf(X)=λn=f(Xn).

选项

答案根据题意得,必存在正交变换X=PY(P为正交矩阵,Y=(y1,…,yn)T),使得XTAX=[*]λ1y12+…+λnyn2≤λn(y12+…+yn2)=λn‖Y‖2由于正交变换不改变向量长度,故有‖Y‖2=‖X‖2=XTX,上式即XTAX≤λnXTX,当X≠0时,XTX>0,即得f(X)=[*]≤λn,又f(Xn)=[*]=λn,于是得maxf(X)=λn

解析
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