2. 考研
  3. 设λ1、λn分别为，2阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X1、Xn分别为对应于λ1和λn的特征向量，记 f(X)＝，X∈Rn，X≠0 证明：λ1≤f(X)≤λn，maxf(X)＝λn＝f(Xn)．

设λ1、λn分别为，2阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X1、Xn分别为对应于λ1和λn的特征向量，记 f(X)＝，X∈Rn，X≠0 证明：λ1≤f(X)≤λn，maxf(X)＝λn＝f(Xn)．

admin2018-04-18  51
问题 设λ1、λn分别为，2阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X1、Xn分别为对应于λ1和λn的特征向量，记
    f(X)＝，X∈Rn，X≠0
    证明：λ1≤f(X)≤λn，maxf(X)＝λn＝f(Xn)．
选项
答案根据题意得，必存在正交变换X＝PY(P为正交矩阵，Y＝(y1，…，yn)T)，使得XTAX＝[*]λ1y12＋…＋λnyn2≤λn(y12＋…＋yn2)＝λn‖Y‖2由于正交变换不改变向量长度，故有‖Y‖2＝‖X‖2＝XTX，上式即XTAX≤λnXTX，当X≠0时，XTX＞0，即得f(X)＝[*]≤λn，又f(Xn)＝[*]＝λn，于是得maxf(X)＝λn．
解析
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考研数学二

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