2. 考研
  3. 已知3阶实对称矩阵A满足trA=-6，AB=C，其中 求k的值与矩阵A．

已知3阶实对称矩阵A满足trA=-6，AB=C，其中 求k的值与矩阵A．

admin2021-02-25  58
问题 已知3阶实对称矩阵A满足trA=-6，AB=C，其中
   
求k的值与矩阵A．
选项
答案由题设AB=C可知A(1，2，1)T=0，从而λ1=0为A的特征值，α1=(1，2，1)T为相应的特征向量； 又A(1，k，1)T=(-12，-12k，-12)T=-12(1，k，1)T，由此可知λ2=-12为矩阵A的特征值，α2=(1，k，1)T为相应的特征向量．因为λ1+λ2+λ3=trA=-6，所以λ3=6． 又因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，故有αT1α2=0，即(1，2，1)(1，k，1)T=0，解得k=-1． 设A的属于λ3=6的特征向量为α3=(x1，x2，x3)T，则显然αT1α3=0，αT2α3=0，即得到方程组： [*] 求得基础解系α3=(-1，0，1)T，即为A的属于λ3=6的特征向量． 由Aα1=0α1，Aα2=-12α2，Aα3=6α3，得 A(α1，α2，α3)=(0，-12α2，6α3)， 即 [*] 故 [*]
解析 本题考查相似对角化的逆问题．用特征值与特征向量的定义Ax=λx，求特征值与特征向量．即若Ax=0有非零解x0．知0是A的特征值，x0是A的关于0特征值对应的特征向量，若Ax=λx，则λ是A的特征值，非零列向量x是A的关于特征值λ的特征向量．还可用λ1+λ2+λ3=trA求特征值．
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考研数学二

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