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已知3阶实对称矩阵A满足trA=-6,AB=C,其中 求k的值与矩阵A.
已知3阶实对称矩阵A满足trA=-6,AB=C,其中 求k的值与矩阵A.
admin
2021-02-25
59
问题
已知3阶实对称矩阵A满足trA=-6,AB=C,其中
求k的值与矩阵A.
选项
答案
由题设AB=C可知A(1,2,1)
T
=0,从而λ
1
=0为A的特征值,α
1
=(1,2,1)
T
为相应的特征向量; 又A(1,k,1)
T
=(-12,-12k,-12)
T
=-12(1,k,1)
T
,由此可知λ
2
=-12为矩阵A的特征值,α
2
=(1,k,1)
T
为相应的特征向量.因为λ
1
+λ
2
+λ
3
=trA=-6,所以λ
3
=6. 又因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交,故有α
T
1
α
2
=0,即(1,2,1)(1,k,1)
T
=0,解得k=-1. 设A的属于λ
3
=6的特征向量为α
3
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则显然α
T
1
α
3
=0,α
T
2
α
3
=0,即得到方程组: [*] 求得基础解系α
3
=(-1,0,1)
T
,即为A的属于λ
3
=6的特征向量. 由Aα
1
=0α
1
,Aα
2
=-12α
2
,Aα
3
=6α
3
,得 A(α
1
,α
2
,α
3
)=(0,-12α
2
,6α
3
), 即 [*] 故 [*]
解析
本题考查相似对角化的逆问题.用特征值与特征向量的定义Ax=λx,求特征值与特征向量.即若Ax=0有非零解x
0
.知0是A的特征值,x
0
是A的关于0特征值对应的特征向量,若Ax=λx,则λ是A的特征值,非零列向量x是A的关于特征值λ的特征向量.还可用λ
1
+λ
2
+λ
3
=trA求特征值.
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