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设向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αr线性无关,且(Ⅰ)可由(Ⅱ):β1,β2,…,βs线性表示.证明:在(Ⅱ)中至少存在一个向量βj,使得向量组βj,α2,…,αr线性无关.
设向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αr线性无关,且(Ⅰ)可由(Ⅱ):β1,β2,…,βs线性表示.证明:在(Ⅱ)中至少存在一个向量βj,使得向量组βj,α2,…,αr线性无关.
admin
2016-03-26
42
问题
设向量组(Ⅰ):α
1
,α
2
,…,α
r
线性无关,且(Ⅰ)可由(Ⅱ):β
1
,β
2
,…,β
s
线性表示.证明:在(Ⅱ)中至少存在一个向量β
j
,使得向量组β
j
,α
2
,…,α
r
线性无关.
选项
答案
用反证法.否则对(Ⅱ)中每个向量β
j
,向量组β
j
,α
2
,…α
r
,都线性相关=>B
j
可由α
2
,…,α
r
线性表出=> (Ⅱ)可由α
2
,…,α
r
线性表出=>(Ⅰ)可由α
2
,…,α
r
线性表出=>α
1
可由α
2
,…,α
r
线性表出,这与(Ⅰ)线性无关矛盾.
解析
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考研数学三
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