设y=y(χ)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(χ,y)处的曲率为,又此曲线上的点(0,1)处的切线方程为y=χ+1,求该曲线方程,并求函数y(χ)的极值.

admin2017-09-15  40

问题 设y=y(χ)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(χ,y)处的曲率为,又此曲线上的点(0,1)处的切线方程为y=χ+1,求该曲线方程,并求函数y(χ)的极值.

选项

答案因为曲线是上凸的,所以y〞<0,由题设得 [*] 令y′=p,y〞=[*],则有[*]=-(1+p2)[*]arctanp=C1-χ. 因为曲线y=y(χ)在点(0,1)处的切线方程为y=χ+1,所以P|χ=0=1,从而y′=tan([*]-χ),积分得y=ln|cos([*]-χ)|+C2. 因为曲线过点(0,1),所以C2=1+[*], 所求曲线为y=lncos([*]-χ)+1+[*],χ∈([*]). 因为cos([*]-χ)≤1,所以当χ=[*]时函数取得极大值1+[*].

解析
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