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设y=y(χ)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(χ,y)处的曲率为,又此曲线上的点(0,1)处的切线方程为y=χ+1,求该曲线方程,并求函数y(χ)的极值.
设y=y(χ)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(χ,y)处的曲率为,又此曲线上的点(0,1)处的切线方程为y=χ+1,求该曲线方程,并求函数y(χ)的极值.
admin
2017-09-15
40
问题
设y=y
(χ)
是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(χ,y)处的曲率为
,又此曲线上的点(0,1)处的切线方程为y=χ+1,求该曲线方程,并求函数y(χ)的极值.
选项
答案
因为曲线是上凸的,所以y〞<0,由题设得 [*] 令y′=p,y〞=[*],则有[*]=-(1+p
2
)[*]arctanp=C
1
-χ. 因为曲线y=y(χ)在点(0,1)处的切线方程为y=χ+1,所以P|
χ=0
=1,从而y′=tan([*]-χ),积分得y=ln|cos([*]-χ)|+C
2
. 因为曲线过点(0,1),所以C
2
=1+[*], 所求曲线为y=lncos([*]-χ)+1+[*],χ∈([*]). 因为cos([*]-χ)≤1,所以当χ=[*]时函数取得极大值1+[*].
解析
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