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设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ，σ2)与N(μ，2σ2)，其中σ是未知参数凡σ＞0．记Z＝X－Y． (Ⅰ)求Z的概率密度f(z，σ2)； (Ⅱ)设Z1，Z2，…，Zn为来自总体Z的简单随机样本，求σ2的最大似然估计量；
设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ，σ2)与N(μ，2σ2)，其中σ是未知参数凡σ＞0．记Z＝X－Y． (Ⅰ)求Z的概率密度f(z，σ2)； (Ⅱ)设Z1，Z2，…，Zn为来自总体Z的简单随机样本，求σ2的最大似然估计量；
admin
2018-07-30
28
问题
设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ，σ
2
)与N(μ，2σ
2
)，其中σ是未知参数凡σ＞0．记Z＝X－Y．
(Ⅰ)求Z的概率密度f(z，σ
2
)；
(Ⅱ)设Z
1
，Z
2
，…，Z
n
为来自总体Z的简单随机样本，求σ
2
的最大似然估计量
；
(Ⅲ)证明
为σ
2
的无偏估计量．
选项
答案
(Ⅰ)∵X与Y独立，可见Z＝X－Y服从正态分布，而EZ＝E(X－Y)＝EX－EY＝μ－μ＝0， DZ＝D(X－Y)＝DX＋DY＝σ
2
＋2σ
2
＝3σ
2
∴Z～N(0，3σ
2
) 故f(z；σ
2
)＝[*]，－∞＜z＜＋∞ (Ⅱ)似然函数为 [*] 令[*]＝0，得σ
2
＝[*]，故[*] (Ⅲ)由EZ＝0，DZ＝3σ
2
，∴E(Z
2
)＝DZ＋(EZ)
2
＝3σ
2
∴[*] 故[*]为σ
2
的无偏估计．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Mfg4777K
0
考研数学一
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