2. 考研
  3. 设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ，σ2)与N(μ，2σ2)，其中σ是未知参数凡σ＞0．记Z＝X－Y． (Ⅰ)求Z的概率密度f(z，σ2)； (Ⅱ)设Z1，Z2，…，Zn为来自总体Z的简单随机样本，求σ2的最大似然估计量；

设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ，σ2)与N(μ，2σ2)，其中σ是未知参数凡σ＞0．记Z＝X－Y． (Ⅰ)求Z的概率密度f(z，σ2)； (Ⅱ)设Z1，Z2，…，Zn为来自总体Z的简单随机样本，求σ2的最大似然估计量；

admin2018-07-30  51
问题 设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ，σ2)与N(μ，2σ2)，其中σ是未知参数凡σ＞0．记Z＝X－Y．
    (Ⅰ)求Z的概率密度f(z，σ2)；
    (Ⅱ)设Z1，Z2，…，Zn为来自总体Z的简单随机样本，求σ2的最大似然估计量；
    (Ⅲ)证明为σ2的无偏估计量．
选项
答案(Ⅰ)∵X与Y独立，可见Z＝X－Y服从正态分布，而EZ＝E(X－Y)＝EX－EY＝μ－μ＝0， DZ＝D(X－Y)＝DX＋DY＝σ2＋2σ2＝3σ2 ∴Z～N(0，3σ2) 故f(z；σ2)＝[*]，－∞＜z＜＋∞ (Ⅱ)似然函数为 [*] 令[*]＝0，得σ2＝[*]，故[*] (Ⅲ)由EZ＝0，DZ＝3σ2，∴E(Z2)＝DZ＋(EZ)2＝3σ2 ∴[*] 故[*]为σ2的无偏估计．
解析
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考研数学一

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