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设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ,σ2)与N(μ,2σ2),其中σ是未知参数凡σ>0.记Z=X-Y. (Ⅰ)求Z的概率密度f(z,σ2); (Ⅱ)设Z1,Z2,…,Zn为来自总体Z的简单随机样本,求σ2的最大似然估计量;
设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ,σ2)与N(μ,2σ2),其中σ是未知参数凡σ>0.记Z=X-Y. (Ⅰ)求Z的概率密度f(z,σ2); (Ⅱ)设Z1,Z2,…,Zn为来自总体Z的简单随机样本,求σ2的最大似然估计量;
admin
2018-07-30
86
问题
设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ,σ
2
)与N(μ,2σ
2
),其中σ是未知参数凡σ>0.记Z=X-Y.
(Ⅰ)求Z的概率密度f(z,σ
2
);
(Ⅱ)设Z
1
,Z
2
,…,Z
n
为来自总体Z的简单随机样本,求σ
2
的最大似然估计量
;
(Ⅲ)证明
为σ
2
的无偏估计量.
选项
答案
(Ⅰ)∵X与Y独立,可见Z=X-Y服从正态分布,而EZ=E(X-Y)=EX-EY=μ-μ=0, DZ=D(X-Y)=DX+DY=σ
2
+2σ
2
=3σ
2
∴Z~N(0,3σ
2
) 故f(z;σ
2
)=[*],-∞<z<+∞ (Ⅱ)似然函数为 [*] 令[*]=0,得σ
2
=[*],故[*] (Ⅲ)由EZ=0,DZ=3σ
2
,∴E(Z
2
)=DZ+(EZ)
2
=3σ
2
∴[*] 故[*]为σ
2
的无偏估计.
解析
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考研数学一
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