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设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. (Ⅰ)计算PTDP,其中P= (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. (Ⅰ)计算PTDP,其中P= (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
admin
2020-03-10
39
问题
设D=
为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵.
(Ⅰ)计算P
T
DP,其中P=
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-C
T
A
-1
C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
选项
答案
(Ⅰ)因为P
T
= [*] (Ⅱ)由(Ⅰ)知矩阵D与矩阵M=[*]合同,又因D是正定矩阵,所以矩阵M为正定矩阵,从而可知M是对称矩阵,那么B-C
T
A
-1
C是对称矩阵. 对m维向量X=(0,0,…,0)
T
和任意n维非0向量Y=(y
1
,y
2
,…,y
n
)
T
≠0,有 [*] 按定义,y
T
(B-C
T
A
-1
C)Y为正定二次型,所以矩阵B-C
T
A
-1
C为正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MjD4777K
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考研数学三
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