f(x)在闭区问[0，c]上连续，其导函数f＇(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0。运用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c。

admin2019-12-12 57

问题 f(x)在闭区问[0，c]上连续，其导函数f＇(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0。
运用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c。

选项

答案当a=0时，f(a)=0，进而有f(a+b)=f(b)=f(a)+f(b)。当a＞0时，在[0，a]和[b，a+b]上分别运用拉格朗日中值定理，有 f＇(ξ₁)=[*]，ξ₁∈(0，a)， f＇(ξ₂)=[*]，ξ₂∈(b，a+b)，显然，0＜ξ₁＜a≤b＜ξ₂＜a+b≤c，因为f＇(x)在(0，c)内单调递减，所以f＇(ξ₂)≤f＇(ξ₁)，从而有[*]，因为a＞0，所以有f(a+b)≤f(a)+f(b)。

解析

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f(x)在闭区问[0，c]上连续，其导函数f＇(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0。运用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c。

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