一电路装有三个同种电气元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间服从参数为λ>0的指数分布.当三个元件都无故障工作时,线路工作状态正常,试求电路正常工作时间T的分布函数.

admin2022-06-08  39

问题 一电路装有三个同种电气元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间服从参数为λ>0的指数分布.当三个元件都无故障工作时,线路工作状态正常,试求电路正常工作时间T的分布函数.

选项

答案设第i个元件正常工作时间为Xi(i=1,2,3),则Xi的分布函数为 [*] 又设电路正常工作时间T的分布函数为G(t),依题设,有T=min{X1,X2,X3}. 于是,当t≤0时,G(t)=P{T≤t}=0; 当t>0时,G(t)=P{T≤t}=1-P{T>t} =1-P{min{X1,X2,X3}>t} =1-P{X1>t,X2>t,X3>t} =1-P{X1>t}P{X2>t}P{X3>t} =1-e-3λt. 因此 [*]

解析 本题是以正常工作时间为随机变量的系统可靠性的问题,与系统结构有关.若设第i个元件正常工作时间为Xi,则在串联的情况下,只要有一个元件有故障,线路工作状态就不正常,系统工作时间为T={Xi}.在并联的情况下,只要有一个元件无故障工作,线路工作状态就正常,系统正常工作时间为T={Xi}.
计算T={Xi}的分布函数,就是计算概率P{T≤t},当t>0时,P{T≤t}=1-P{{Xi}>t},关键是熟悉事件{min{X1,X2,X3}>t}与{X1>t,X2>t,X3>t}的等价关系,类似地,事件{max{X1,X2,X3}<t}与{X1<t,X2<t,X3<t}等价,这种关系之间的转换,在概率计算中是常见的.
由于事件{X1≤t},{X2≤t},{X3≤t}相互独立,所以有
P(X1>t,X2>t,X3>t}=P{X1>t}P{X2>t}P{X3>t}.
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