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一电路装有三个同种电气元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间服从参数为λ>0的指数分布.当三个元件都无故障工作时,线路工作状态正常,试求电路正常工作时间T的分布函数.
一电路装有三个同种电气元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间服从参数为λ>0的指数分布.当三个元件都无故障工作时,线路工作状态正常,试求电路正常工作时间T的分布函数.
admin
2022-06-08
56
问题
一电路装有三个同种电气元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间服从参数为λ>0的指数分布.当三个元件都无故障工作时,线路工作状态正常,试求电路正常工作时间T的分布函数.
选项
答案
设第i个元件正常工作时间为X
i
(i=1,2,3),则X
i
的分布函数为 [*] 又设电路正常工作时间T的分布函数为G(t),依题设,有T=min{X
1
,X
2
,X
3
}. 于是,当t≤0时,G(t)=P{T≤t}=0; 当t>0时,G(t)=P{T≤t}=1-P{T>t} =1-P{min{X
1
,X
2
,X
3
}>t} =1-P{X
1
>t,X
2
>t,X
3
>t} =1-P{X
1
>t}P{X
2
>t}P{X
3
>t} =1-e
-3λt
. 因此 [*]
解析
本题是以正常工作时间为随机变量的系统可靠性的问题,与系统结构有关.若设第i个元件正常工作时间为X
i
,则在串联的情况下,只要有一个元件有故障,线路工作状态就不正常,系统工作时间为T=
{X
i
}.在并联的情况下,只要有一个元件无故障工作,线路工作状态就正常,系统正常工作时间为T=
{X
i
}.
计算T=
{X
i
}的分布函数,就是计算概率P{T≤t},当t>0时,P{T≤t}=1-P{
{X
i
}>t},关键是熟悉事件{min{X
1
,X
2
,X
3
}>t}与{X
1
>t,X
2
>t,X
3
>t}的等价关系,类似地,事件{max{X
1
,X
2
,X
3
}<t}与{X
1
<t,X
2
<t,X
3
<t}等价,这种关系之间的转换,在概率计算中是常见的.
由于事件{X
1
≤t},{X
2
≤t},{X
3
≤t}相互独立,所以有
P(X
1
>t,X
2
>t,X
3
>t}=P{X
1
>t}P{X
2
>t}P{X
3
>t}.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MsSa777K
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经济类联考综合能力题库专业硕士分类
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经济类联考综合能力
专业硕士
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