2. 考研
  3. 一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间服从参数为λ＞0的指数分布．当三个元件都无故障工作时，线路工作状态正常，试求电路正常工作时间T的分布函数．

一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间服从参数为λ＞0的指数分布．当三个元件都无故障工作时，线路工作状态正常，试求电路正常工作时间T的分布函数．

admin2022-06-08  57
问题 一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间服从参数为λ＞0的指数分布．当三个元件都无故障工作时，线路工作状态正常，试求电路正常工作时间T的分布函数．
选项
答案设第i个元件正常工作时间为Xi(i=1，2，3)，则Xi的分布函数为 [*] 又设电路正常工作时间T的分布函数为G(t)，依题设，有T=min{X1，X2，X3}． 于是，当t≤0时，G(t)=P{T≤t}=0； 当t＞0时，G(t)=P{T≤t}=1－P{T＞t} =1－P{min{X1，X2，X3}＞t} =1－P{X1＞t，X2＞t，X3＞t} =1－P{X1＞t}P{X2＞t}P{X3＞t} =1－e－3λt． 因此 [*]
解析 本题是以正常工作时间为随机变量的系统可靠性的问题，与系统结构有关．若设第i个元件正常工作时间为Xi，则在串联的情况下，只要有一个元件有故障，线路工作状态就不正常，系统工作时间为T={Xi}．在并联的情况下，只要有一个元件无故障工作，线路工作状态就正常，系统正常工作时间为T={Xi}．
计算T={Xi}的分布函数，就是计算概率P{T≤t}，当t＞0时，P{T≤t}=1－P{{Xi}＞t}，关键是熟悉事件{min{X1，X2，X3}＞t}与{X1＞t，X2＞t，X3＞t}的等价关系，类似地，事件{max{X1，X2，X3}＜t}与{X1＜t，X2＜t，X3＜t}等价，这种关系之间的转换，在概率计算中是常见的．
由于事件{X1≤t}，{X2≤t}，{X3≤t}相互独立，所以有
P(X1＞t，X2＞t，X3＞t}=P{X1＞t}P{X2＞t}P{X3＞t}．
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经济类联考综合能力

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